Considere a curva \gamma(t)=\left(2 t, t^{2}, \frac{1}{3} t^{3}\right). Calcule o comprimento de arco entre os pontos \left(2,1, \frac{1}{3}\right) e (6,9,9).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A curva é \gamma(t)=\left(2t,\;t^{2},\;\tfrac{1}{3}t^{3}\right).
  • Os pontos entre os quais queremos o comprimento de arco são \left(2,1,\tfrac{1}{3}\right) e \left(6,9,9\right).
O enunciado pede: calcular o comprimento de arco da curva \gamma entre esses dois pontos.

Passo 2

Identificar os parâmetros t correspondentes a cada ponto (ou seja, encontrar t tal que \gamma(t) seja cada ponto dado).
  • Para \left(2,1,\tfrac{1}{3}\right) temos 2t=2\Rightarrow t=1. Verificação: t^{2}=1 e \tfrac{1}{3}t^{3}=\tfrac{1}{3}, portanto o ponto corresponde a t=1.
  • Para \left(6,9,9\right) temos 2t=6\Rightarrow t=3. Verificação: t^{2}=9 e \tfrac{1}{3}t^{3}=\tfrac{1}{3}\cdot27=9, portanto o ponto corresponde a t=3.
Assim, o comprimento pedido é o comprimento da curva para t variando de 1 até 3.

Passo 3

Relembrando a fórmula de comprimento de arco para uma curva parametrizada por \gamma(t): se \gamma é diferenciável e temos o parâmetro t em [a,b], o comprimento de arco L é
L=\int_{a}^{b}\|\gamma'(t)\|\,dt.
Aqui \gamma'(t) é a derivada vetorial componente a componente (a “velocidade” da curva) e \|\gamma'(t)\| é a norma euclidiana dessa velocidade (a “rapidez” ou speed). Essa fórmula vem do fato de aproximarmos a curva por pequenos segmentos lineares e somarmos seus comprimentos, passando ao limite.

Passo 4

Calcular \gamma'(t) componente a componente:
\gamma(t)=\bigl(2t,\;t^{2},\;\tfrac{1}{3}t^{3}\bigr)
Derivando cada componente em relação a t:
\gamma'(t)=\bigl(2,\;2t,\;t^{2}\bigr).
Expliquei: a derivada de 2t é 2, de t^{2} é 2t e de \tfrac{1}{3}t^{3} é \tfrac{1}{3}\cdot 3 t^{2}=t^{2}.

Passo 5

Calcular a norma \|\gamma'(t)\|. A norma euclidiana de um vetor (v_{1},v_{2},v_{3}) é \sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}. Aplicando:
\|\gamma'(t)\|=\sqrt{2^{2}+(2t)^{2}+(t^{2})^{2}}=\sqrt{4+4t^{2}+t^{4}}.
Agora observar que o polinômio dentro da raiz é um quadrado perfeito:
4+4t^{2}+t^{4}=(t^{2}+2)^{2},
pois ao expandir (t^{2}+2)^{2} obtém-se t^{4}+4t^{2}+4. Portanto
\|\gamma'(t)\|=\sqrt{(t^{2}+2)^{2}}=t^{2}+2,
já que t^{2}+2>0 para todo t, então a raiz positiva é simplesmente t^{2}+2.

Passo 6

Aplicar a fórmula do comprimento de arco com os limites a=1 e b=3:
L=\int_{1}^{3}\|\gamma'(t)\|\,dt=\int_{1}^{3}\bigl(t^{2}+2\bigr)\,dt.
Agora calcular a integral explicitamente. A primitiva de t^{2} é \tfrac{1}{3}t^{3} e a primitiva de 2 é 2t. Assim uma primitiva para t^{2}+2 é
F(t)=\tfrac{1}{3}t^{3}+2t.

Passo 7

Avaliar a primitiva nos limites e subtrair:
L=F(3)-F(1)=\Bigl(\tfrac{1}{3}\cdot 3^{3}+2\cdot 3\Bigr)-\Bigl(\tfrac{1}{3}\cdot 1^{3}+2\cdot 1\Bigr).
Calcular cada termo:
\tfrac{1}{3}\cdot 3^{3}=\tfrac{1}{3}\cdot27=9,\qquad 2\cdot3=6,
\tfrac{1}{3}\cdot1^{3}=\tfrac{1}{3},\qquad 2\cdot1=2.
Portanto
L=(9+6)-\Bigl(\tfrac{1}{3}+2\Bigr)=15-\tfrac{7}{3}=\tfrac{45}{3}-\tfrac{7}{3}=\tfrac{38}{3}.

Resposta

\dfrac{38}{3}

Exercícios relacionados