Considere a curva
. Calcule o comprimento de arco entre os pontos
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A curva é
. - Os pontos entre os quais queremos o comprimento de arco são
e .
O enunciado pede: calcular o comprimento de arco da curva
entre esses dois pontos.
Passo 2
Identificar os parâmetros
correspondentes a cada ponto (ou seja, encontrar
tal que
seja cada ponto dado).
- Para
temos . Verificação: e , portanto o ponto corresponde a . - Para
temos . Verificação: e , portanto o ponto corresponde a .
Assim, o comprimento pedido é o comprimento da curva para
variando de
até
.
Passo 3
Relembrando a fórmula de comprimento de arco para uma curva parametrizada por
: se
é diferenciável e temos o parâmetro
em
, o comprimento de arco
é
Aqui
é a derivada vetorial componente a componente (a “velocidade” da curva) e
é a norma euclidiana dessa velocidade (a “rapidez” ou speed). Essa fórmula vem do fato de aproximarmos a curva por pequenos segmentos lineares e somarmos seus comprimentos, passando ao limite.
Passo 4
Calcular
componente a componente:
Derivando cada componente em relação a
:
Expliquei: a derivada de
é
, de
é
e de
é
.
Passo 5
Calcular a norma
. A norma euclidiana de um vetor
é
. Aplicando:
Agora observar que o polinômio dentro da raiz é um quadrado perfeito:
pois ao expandir
obtém-se
. Portanto
já que
para todo
, então a raiz positiva é simplesmente
.
Passo 6
Aplicar a fórmula do comprimento de arco com os limites
e
:
Agora calcular a integral explicitamente. A primitiva de
é
e a primitiva de
é
. Assim uma primitiva para
é
Passo 7
Avaliar a primitiva nos limites e subtrair:
Calcular cada termo:
Portanto