Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral dupla.
\int_{-3}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral dupla
\int_{-3}^{3}\int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}}\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando depende apenas de x^{2}+y^{2}.
  • Os limites externos são x variando de -3 até 3.
  • Os limites internos são y variando de 0 até \sqrt{9-x^{2}}.
O que é pedido:
  • Fazer um esboço (descrever/identificar geometricamente) da região do plano (x,y) onde se integra.
  • Calcular o valor da integral dupla.

Passo 2

Esboço da região de integração (descrição passo a passo para você desenhar):
  • O limite superior y=\sqrt{9-x^{2}} é equivalente à circunferência de raio 3 (a equação x^{2}+y^{2}=9), tomado o ramo com y\ge 0.
  • Como y varia de 0 até esse \sqrt{9-x^{2}}, estamos apenas com a parte superior do disco de raio 3.
  • O intervalo x\in[-3,3] completa a mesma ideia: a projeção no eixo x vai de -3 a 3.
Instruções simples para desenhar: trace os eixos x e y, desenhe a circunferência de centro em (0,0) e raio 3 e sombreie a parte acima do eixo x (incluindo a borda). Essa região é um semicírculo de raio 3, com 0\le y\le\sqrt{9-x^{2}} e -3\le x\le3.

Passo 3

Por que usar coordenadas polares (explicação didática)?
  • O integrando depende de x^{2}+y^{2}. Em coordenadas polares, essa combinação vira r^{2}, o que simplifica muito.
  • Lembrete rápido de coordenadas polares:
    • x=r\cos\theta,
    • y=r\sin\theta,
    • r\ge0 e 0\le\theta<2\pi (mas adaptamos conforme a região).
  • Jacobiano (o fator de escala ao trocar dx\,dy por dr\,d\theta) é r: isto é, dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
    • Explicando o Jacobiano em palavras: um pequeno retângulo em polares com lados dr e r\,d\theta tem área aproximada r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Determinar os limites em coordenadas polares para a nossa região:
  • A região é o semicírculo superior de raio 3. Em polares isso corresponde a:
    • r variando de 0 até 3 (a borda é r=3);
    • \theta variando do eixo positivo x até o eixo negativo passando pela parte superior, ou seja \theta\in[0,\pi].
  • Portanto os limites são 0\le r\le 3 e 0\le\theta\le\pi.

Passo 5

Troca para coordenadas polares e cálculo da integral (passo a passo com substituição):
  • Primeiro, escrevemos o integrando em polares. Como x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy = r\,dr\,d\theta, a integral vira
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3}\sin\!\bigl(r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.
(Aqui usei \sin para representar \operatorname{sen}, e os ângulos estão em radianos.)
  • Agora calculamos a integral interna em r:
    • Use a substituição u=r^{2}. Então du=2r\,dr, isto é r\,dr=\dfrac{du}{2}.
    • Quando r=0 temos u=0; quando r=3 temos u=9.
    • Assim
    \int_{0}^{3}\sin\!\bigl(r^{2}\bigr)\,r\,dr =\frac{1}{2}\int_{0}^{9}\sin(u)\,du.
    • Integral de \sin(u) é -\cos(u), então
    \frac{1}{2}\int_{0}^{9}\sin(u)\,du =\frac{1}{2}\bigl(-\cos(u)\bigr)\Big|_{0}^{9} =\frac{1}{2}\bigl(-\cos 9 + \cos 0\bigr).
    • Como \cos 0=1, isso é
    \frac{1}{2}\bigl(1-\cos 9\bigr).
  • Agora restará integrar em \theta de 0 a \pi; a expressão interna não depende de \theta, então multiplica por \pi: \int_{0}^{\pi}\left[\frac{1}{2}\bigl(1-\cos 9\bigr)\right]d\theta =\pi\cdot\frac{1}{2}\bigl(1-\cos 9\bigr).

Passo 6

Interpretação final e observações rápidas:
  • O resultado obtido é exato e já está em forma simples. Note que \cos 9 é o cosseno de 9 radianos (não em graus).
  • Se for necessário um valor numérico aproximado, pode-se avaliar \cos 9 numericamente, mas a forma exata
    \dfrac{\pi}{2}\bigl(1-\cos 9\bigr) é a resposta fechada e elegante da integral dupla.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}\bigl(1-\cos 9\bigr)

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