Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral dupla.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar a região de integração e calcular a integral dupla
Informações dadas:
- O integrando depende apenas de
. - Os limites externos são
variando de até . - Os limites internos são
variando de até .
O que é pedido:
- Fazer um esboço (descrever/identificar geometricamente) da região do plano
onde se integra. - Calcular o valor da integral dupla.
Passo 2
Esboço da região de integração (descrição passo a passo para você desenhar):
- O limite superior
é equivalente à circunferência de raio (a equação ), tomado o ramo com . - Como
varia de até esse , estamos apenas com a parte superior do disco de raio . - O intervalo
completa a mesma ideia: a projeção no eixo vai de a .
Instruções simples para desenhar: trace os eixos
e
, desenhe a circunferência de centro em
e raio
e sombreie a parte acima do eixo
(incluindo a borda). Essa região é um semicírculo de raio
, com
e
.
Passo 3
Por que usar coordenadas polares (explicação didática)?
- O integrando depende de
. Em coordenadas polares, essa combinação vira , o que simplifica muito. - Lembrete rápido de coordenadas polares:
-
, -
, -
e (mas adaptamos conforme a região).
-
- Jacobiano (o fator de escala ao trocar
por ) é : isto é, . - Explicando o Jacobiano em palavras: um pequeno retângulo em polares com lados
e tem área aproximada .
- Explicando o Jacobiano em palavras: um pequeno retângulo em polares com lados
Passo 4
Determinar os limites em coordenadas polares para a nossa região:
- A região é o semicírculo superior de raio
. Em polares isso corresponde a: -
variando de até (a borda é ); -
variando do eixo positivo até o eixo negativo passando pela parte superior, ou seja .
-
- Portanto os limites são
e .
Passo 5
Troca para coordenadas polares e cálculo da integral (passo a passo com substituição):
- Primeiro, escrevemos o integrando em polares. Como
e , a integral vira
(Aqui usei
para representar
, e os ângulos estão em radianos.)
- Agora calculamos a integral interna em
: - Use a substituição
. Então , isto é . - Quando
temos ; quando temos . - Assim
- Integral de
é , então
- Como
, isso é
- Use a substituição
- Agora restará integrar em
de a ; a expressão interna não depende de , então multiplica por :
Passo 6
Interpretação final e observações rápidas:
- O resultado obtido é exato e já está em forma simples. Note que
é o cosseno de radianos (não em graus). - Se for necessário um valor numérico aproximado, pode-se avaliar
numericamente, mas a forma exata
é a resposta fechada e elegante da integral dupla.