As superfícies de revolução (ou de rotação) M^{2}, são as superfícies obtidas pela rotação de uma curva \gamma em torno de um eixo. Por simplicidade consideraremos a curva \gamma(t)=(x(t), y(t)), com t \in[a, b] no semiplano superior \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y>0\right\} e o eixo de rotação será o eixo dos x. M^{2} é uma superfícies parametrizada, com parametrização \varphi:[a, b] \times[0,2 \pi) \rightarrow M^{2}, dada por:
\varphi(t, \theta)=(x(t), y(t) \cos \theta, y(t) \operatorname{sen} \theta) .
Determine a superfície parametrizada obtida através da rotação a parábola \gamma(t)=\left(t, t^{2}\right), com t \in[1,2] em torno do eixo x .

Passo 1

O enunciado pede a superfície de revolução obtida ao girar a parábola
\gamma(t)=(t,\,t^{2}), t\in[1,2], em torno do eixo x. O conteúdo é superfícies de revolução em \mathbb{R}^{3}, que usamos via a parametrização geral
\varphi(t,\theta) = \bigl(x(t),\,y(t)\cos\theta,\,y(t)\sin\theta\bigr),
com \theta\in[0,2\pi).

Passo 2

Na curva dada temos
x(t)=t, \quad y(t)=t^{2},
definidas para t\in[1,2]. Basta inserir essas expressões na fórmula geral de \varphi.

Passo 3

Substituindo, obtemos
\varphi(t,\theta) =\bigl(t,\;t^{2}\cos\theta,\;t^{2}\sin\theta\bigr),
com (t,\theta)\in[1,2]\times[0,2\pi).

Resposta

\varphi(t,\theta) =\bigl(t,\;t^{2}\cos\theta,\;t^{2}\sin\theta\bigr), \quad (t,\theta)\in[1,2]\times[0,2\pi).

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