Se \gamma(t)=(x(t), y(t)) com t \in I \subset \mathbb{R} é uma curva plana e r é uma reta situada no plano perpendicular ao plano que contém \gamma, então o conjunto de todas as retas paralelas a reta r que intersectam a curva \gamma, chama-se um cilindro sobre a curva \gamma. A curva \gamma chama-se diretriz do cilindro e cada reta que passa por \gamma paralela a r chama-se geratriz do cilindro. Um cilindro sobre uma curva \gamma é uma superfície parametrizada, com parametrização dada por:
\varphi(t, v)=(x(t), y(t), v), \quad(t, v) \quad \in I \times \mathbb{R}
Considere uma elipse em coordenada cartesiana dada por:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
com a \neq 0 e b \neq 0. Determine o cilindro sobre a elipse \gamma, como uma superfícies parametrizada

Passo 1

O enunciado define um cilindro sobre uma curva plana \gamma(t)=(x(t),y(t)) tomadas geratrizes paralelas a uma reta r perpendicular ao plano de \gamma. Num caso típico, r é a reta paralela ao eixo z. A parametrização geral desse cilindro é
\varphi(t,v)=(x(t),\,y(t),\,v),
com (t,v) variando em I\times\mathbb{R}.

Passo 2

Para a elipse dada
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,
uma parametrização habitual é
\gamma(t)=(a\cos t,\;b\sin t),
com t\in[0,2\pi).

Passo 3

Bast a substituir \gamma(t) na parametrização do cilindro:
\varphi(t,v) \;=\;\bigl(x(t),\,y(t),\,v\bigr) \;=\;\bigl(a\cos t,\;b\sin t,\;v\bigr),
onde (t,v)\in[0,2\pi)\times\mathbb{R}.

Resposta

A parametrização do cilindro sobre a elipse é
\varphi(t,v)=(a\cos t,\;b\sin t,\;v), \quad (t,v)\in[0,2\pi)\times\mathbb{R}.

Exercícios relacionados