Considere a curva
interseção do paraboloide
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é a curva fechada dada pela interseção do paraboloide
com o cilindro
orientada no sentido anti-horário vista de cima.
Conteúdo: Teorema de Stokes. Vamos trocar a integral de linha pela integral de superfície de , com
.
Conteúdo: Teorema de Stokes. Vamos trocar a integral de linha pela integral de superfície de
Passo 2
Definimos
O rotacional é
Calculando cada componente:
Logo
Passo 3
Pelo Teorema de Stokes,
onde
é a parte do paraboloide limitada por
, com normal de orientação “para cima”.
Parametrizamos por
. Então
Parametrizamos
Em
temos
. O produto escalar fica
Assim a integral dupla sobre o disco
é
O termo com
anula por simetria
. Resta dividir em três integrais:
com
Passo 4
Cálculo de
. Em coordenadas polares
:
Com
, obtém-se
Passo 5
Cálculo de
:
Passo 6
Cálculo de
:
Passo 7
Somando: