Considere a curva C interseção do paraboloide z=10-x^2-y^2 com o cilindro x^2+y^2=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
ointC y e^z-3 d x+x z^2 d y+e^x y z d z

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointC y e^z-3,dx ;+; xz^2,dy ;+; e^xyz,dz
onde C é a curva fechada dada pela interseção do paraboloide
z=10-x^2-y^2
com o cilindro
x^2+y^2=1,
orientada no sentido anti-horário vista de cima.
Conteúdo: Teorema de Stokes. Vamos trocar a integral de linha pela integral de superfície de nablatimes F, com F=(P,Q,R).

Passo 2

Definimos
P=y e^z-3, Q = x z^2, R=e^xyz
O rotacional é
nablatimes F =l(,partialyR-partialzQ,;partialzP-partialxR,;partialxQ-partialyPr)
Calculando cada componente:
partialyR = xz,e^xyz, partialzQ=2xz,
partialzP = y,e^z-3, partialxR = yz,e^xyz,
partialxQ = z^2, partialyP = e^z-3
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nablatimes F =l(xz(e^xyz-2),;y(e^z-3-z,e^xyz),;z^2-e^z-3r)

Passo 3

Pelo Teorema de Stokes,
ointCFcdot d r =integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS,
onde S é a parte do paraboloide limitada por x^2+y^2=1, com normal de orientação “para cima”.
Parametrizamos S por (x,y,z=10-x^2-y^2). Então
n,dS =l(-zx,,-zy,,1r)dA =(2x,2y,1),dA
Em S temos z=10-r^2. O produto escalar fica
(nablatimes F)cdot n =2x^2z(e^xyz-2)+2y^2(e^z-3-z,e^xyz)+(z^2-e^z-3)
Assim a integral dupla sobre o disco r<=1 é
I=integral duplar<=1l[2z(x^2-y^2)e^xyz+e^z-3(2y^2-1)-4x^2 z+z^2r],dA
O termo com e^xyz(x^2-y^2) anula por simetria (xrightarrow y). Resta dividir em três integrais:
I=I1+I2+I3
com
I1=integral dupla e^z-3(2y^2-1),dA, I2=integral dupla -4x^2 z,dA, I3=integral dupla z^2,dA

Passo 4

Cálculo de I1. Em coordenadas polares x=rcostheta,;y=rsintheta,;z=10-r^2:
I1 =integral0^2pi!integral0^1e^7-r^2(2r^2sin^2theta-1),r,dr,dtheta =2piintegral0^1r e^7-r^2(r^2-1),dr
Com t=7-r^2, obtém-se
I1 =-piintegral7^6e^t(6-t),dt =pil[(7-t)e^tr]6^7 =-pi e^6

Passo 5

Cálculo de I2:
I2 =-4integral0^2pi!integral0^1r^3(10-r^2)cos^2theta,dr,dtheta =-4piintegral0^1(10r^3-r^5),dr =-28pi3

Passo 6

Cálculo de I3:
I3 =2piintegral0^1(10-r^2)^2r,dr =2pil[50-5+tfrac16r] =271pi3

Passo 7

Somando:
I = I1 + I2 + I3 = l(-pi e^6r)+l(-28pi3r)+271pi3 =81pi-pi e^6 =pil(81 - e^6r)

Resposta

boxedpil(81 - e^6r)

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