Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral
integralC -y1-y+4 y^2 d x+xx^2+4 y^2 d y
em que C é a parte da parábola y=1-x^2 de (1,0) até (0,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC -y1-y+4y^2,dx + xx^2+4y^2,dy
sobre a curva C dada pela parábola y=1-x^2 de (1,0) até (0,1). O conteúdo envolvido é integração de linha de campos vetoriais e identificação de formas exatas para usar o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Na curva C temos a relação y=1-x^2, logo
1 - y + 4y^2 = x^2 + 4y^2
então o integrando se simplifica para
-yx^2+4y^2,dx + xx^2+4y^2,dy = -y,dx + x,dyx^2+4y^2

Passo 3

Reconhecemos que
dl(arctan(2y/x)r) = 2x,dy - 2y,dxx^2+4y^2 ,,
portanto
-y,dx + x,dyx^2+4y^2 = 12,dl(arctan(2y/x)r)

Passo 4

Aplicamos o teorema fundamental das integrais de linha para forma exata. Assim
integralC -y,dx + x,dyx^2+4y^2 = 12l[arctan(2y/x)r](1,0)^(0,1)

Passo 5

No ponto inicial (1,0) temos 2y/x=0 e arctan0=0. No ponto final (0,1) temos 2y/xto+infty e arctan(+infty)=pi/2. Logo
12l(pi/2 - 0r) = pi4

Resposta

dfracpi4

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