Mostre que, para qualquer Campo Vetarial F(x, y)=f(x) i+g(y) j, e qualquer curva C, satisfazendo (ambos) às hipóteses do Teorema de Stokes, a Integral de Linha de Circulação do Campo F ao longo de C, é sempre nula;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para o campo vetorial
F(x,y)=f(x),i+g(y),j,
e qualquer curva fechada C que satisfaça as hipóteses do Teorema de Stokes (no plano, conhecido como Teorema de Green), a circulação
ointCFcdot dr
é sempre nula. Vamos usar exatamente o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha fechada à integral dupla do rotacional.

Passo 2

Escrevemos a integral de linha de circulação no formato padrão
ointCFcdot dr =ointC P(x,y),dx+Q(x,y),dy
onde aqui
P(x,y)=f(x), Q(x,y)=g(y)

Passo 3

Pelo Teorema de Green, para C=partial D orientada positivamente, vale
ointC P,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de P e Q:
partial Qpartial x =partialpartial xg(y)=0, partial Ppartial y =partialpartial yf(x)=0

Passo 5

Logo o integrando fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y =0-0=0,
e portanto
integral duplaD0,dA=0

Resposta

boxedointCFcdot dr=0

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