Mostre que, para qualquer Campo Vetarial
, e qualquer curva
, satisfazendo (ambos) às hipóteses do Teorema de Stokes, a Integral de Linha de Circulação do Campo F ao longo de C, é sempre nula;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para o campo vetorial
e qualquer curva fechada
que satisfaça as hipóteses do Teorema de Stokes (no plano, conhecido como Teorema de Green), a circulação
é sempre nula. Vamos usar exatamente o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha fechada à integral dupla do rotacional.
é sempre nula. Vamos usar exatamente o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha fechada à integral dupla do rotacional.
Passo 2
Escrevemos a integral de linha de circulação no formato padrão
onde aqui
Passo 3
Pelo Teorema de Green, para
orientada positivamente, vale
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
Passo 5
Logo o integrando fica
e portanto