Determine a derivada direcional de f no panto dado e na direséo indicada pelo ângulo theta
f(x, y)=x e^-y, P(0,4), theta=2 pi3

Passo 1

Beleza, vamos lá: o enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x e^-y
no ponto P(0,4) na direção do ângulo theta=tfrac2pi3. O truque é lembrar que, se u é o vetor unitário nessa direção, então
Duf(P)=nabla f(P)cdot u

Passo 2

Primeiro, calculamos o gradiente de f. As derivadas parciais são
partial fpartial x=e^-y
e
partial fpartial y=-x,e^-y.
Logo,
nabla f(x,y)=(e^-y,,-x,e^-y)

Passo 3

Agora, o vetor unitário na direção de theta=tfrac2pi3 é
u=(costheta,sintheta) =l(-tfrac12,;tfracraiz32r)

Passo 4

Em P(0,4) temos
nabla f(0,4)=(e^-4,,0)
Portanto a derivada direcional é
Duf(0,4) =nabla f(0,4)cdotu =e^-4!cdot!l(-tfrac12r) +0!cdot!tfracraiz32 =-e^-42

Resposta

-e^-42

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