Mostre que, para qualquer Campo Vetarial
, e qualquer curva
, satisfazendo (ambos) às hipóteses do Teorema de Gauss, a Integral de Linha de Fluxo do Campo
ao longo de C, é sempre nula;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para qualquer campo vetorial
e qualquer curva fechada
que satisfaça as hipóteses do Teorema de Gauss (também chamado Teorema de Green na forma de fluxo), a integral de fluxo
é sempre nula. Para isso, vamos calcular a divergência de
e aplicar o Teorema de Gauss.
Passo 2
Calculemos a divergência de
. Por definição,
Como
independe de
e
independe de
, temos
logo
Passo 3
O Teorema de Gauss na forma de fluxo afirma que, para uma região
cujo contorno é
,
Como
em todo
, a integral dupla é zero, e portanto
Resposta
A integral de fluxo de
ao longo de qualquer curva
que satisfaça as hipóteses do Teorema de Gauss é