Mostre que, para qualquer Campo Vetarial F(x, y)=g(y) i+f(x) j, e qualquer curva C, satisfazendo (ambos) às hipóteses do Teorema de Gauss, a Integral de Linha de Fluxo do Campo F ao longo de C, é sempre nula;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer campo vetorial
F(x,y)=g(y),i+f(x),j
e qualquer curva fechada C que satisfaça as hipóteses do Teorema de Gauss (também chamado Teorema de Green na forma de fluxo), a integral de fluxo
ointCFcdot n,ds
é sempre nula. Para isso, vamos calcular a divergência de F e aplicar o Teorema de Gauss.

Passo 2

Calculemos a divergência de F. Por definição,
div,F =partialpartial xl(g(y)r) +partialpartial yl(f(x)r)
Como g(y) independe de x e f(x) independe de y, temos
partialpartial xg(y)=0, partialpartial yf(x)=0,
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div,F=0

Passo 3

O Teorema de Gauss na forma de fluxo afirma que, para uma região D cujo contorno é C,
ointCFcdot n,ds =integral duplaDdiv,F,dA
Como div,F=0 em todo D, a integral dupla é zero, e portanto
ointCFcdot n,ds=0

Resposta

A integral de fluxo de F ao longo de qualquer curva C que satisfaça as hipóteses do Teorema de Gauss é
0

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