Considere a curva C interseção do parabolóide z=10-x^2-y^2 com o cilindro x^2+y^2=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
ointC y e^z-3 d x+x z^2 d y+e^x y z d z:
Diretamente.
Resp.: (81-e^6) pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular diretamente a integral de linha
ointCy,e^z-3,dx ;+; x,z^2,dy ;+; e^xyz,dz,
onde C é a curva de interseção do paraboloide z=10 - x^2-y^2 com o cilindro x^2+y^2=1, orientada no sentido anti-horário vista de cima. O método é parametrizar C e substituir na integral.

Passo 2

Como em C temos x^2+y^2=1 e então z=10-1=9, parametrize
x(t)=cos t, y(t)=sin t, z(t)=9, 0<= t<= 2pi,
com t aumentando no sentido anti-horário.

Passo 3

Calculemos as diferenciais:
dx=-sin t,dt, dy=cos t,dt, dz=0
Então
P,dx = y,e^z-3,dx = sin t,e^9-3,(-sin t,dt) = -e^6sin^2t,dt,
Q,dy = x,z^2,dy = cos tcdot 9^2cdot(cos t,dt) = 81cos^2t,dt,
R,dz = e^xyz,dz = e^(cos t)(sin t)(9)cdot 0 = 0

Passo 4

A integral torna-se
ointC = integral0^2pil(-e^6sin^2t + 81cos^2tr),dt
Sabendo que
integral0^2pisin^2t,dt = integral0^2picos^2t,dt = pi,
segue
integral0^2pil(-e^6sin^2t + 81cos^2tr),dt = -e^6,pi + 81,pi = l(81 - e^6r)pi

Resposta

(81 - e^6)pi

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