Em relação a valores mínimos e máximos de funções, explique as diferenças entre mínimos e máximos locais e globais, bem como a relação desses valores (críticos) com as derivadas.

Passo 1

Resumindo o que queremos entender: estamos estudando os pontos em que uma função f atinge valores mínimos ou máximos. Em particular, distinguimos entre extremos globais (ou absolutos) e extremos locais, e analisamos como a derivada de f nos ajuda a encontrar esses pontos.

Passo 2

Definição de extremos globais. Dizemos que x^* é
– um mínimo global de f em um domínio D se, para todo xin D,
f(x^*) <= f(x)
– um máximo global de f em D se, para todo xin D,
f(x^*) >= f(x)
Esses valores são os menores e maiores de toda a função sobre D.

Passo 3

Definição de extremos locais. Dizemos que x^* é
– um mínimo local de f se existe um intervalo aberto (x^*-de<a,,x^*+de<a)subset D tal que, para todo x nesse intervalo,
f(x^*) <= f(x)
– um máximo local de f se existe de<a>0 tal que, para todo xin(x^*-de<a,,x^*+de<a),
f(x^*) >= f(x)
Note que um extremo global também é local desde que x^* não seja ponto de fronteira de D, mas nem todo extremo local é global.

Passo 4

Relação com derivadas (caso f seja diferenciável em x^* e x^* fique no interior de D):
  1. Ponto crítico é x^* tal que
f'(x^*) = 0 ou f'(x^*) não existe ã
  1. Teorema de Fermat: se f tem extremo local em x^* e é derivável ali, então x^* é ponto crítico.
  2. Teste da segunda derivada: se f''(x^*) existir,
    f''(x^*)>0 indica mínimo local,
    f''(x^*)<0 indica máximo local,
    f''(x^*)=0 torna inconclusivo (pode ser ponto de inflexão).

Passo 5

Relação entre locais e globais:
  • Todo extremo global interior do domínio é também extremo local.
  • Um extremo local não precisa ser global (pode haver valores maiores ou menores em outros pontos de D).
  • Para identificar possíveis extremos (locais ou globais), primeiro encontramos pontos críticos via f'(x)=0, depois usamos testes (segunda derivada ou comparações de valores) para classificar e comparar globalmente.

Resposta

  • Um extremo global é o menor (ou maior) valor que f assume em todo o domínio, enquanto um extremo local é o menor (ou maior) valor só em uma vizinhança de um ponto.
  • Se f é diferenciável e atinge um extremo local em um ponto interior, então esse ponto é um ponto crítico, ou seja, ,f'(x)=0 (ou f' não existe).
  • O teste da segunda derivada classifica pontos críticos: f''(x)>0 dá mínimo local, f''(x)<0 dá máximo local, e f''(x)=0 é inconclusivo.
  • Extremos globais internos são sempre locais, mas nem todo extremo local é global; para achar o global, comparamos valores de f nos candidatos (pontos críticos e fronteira).

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