Em relação a valores mínimos e máximos de funções, explique as diferenças entre mínimos e máximos locais e globais, bem como a relação desses valores (críticos) com as derivadas.
Passo 1
Resumindo o que queremos entender: estamos estudando os pontos em que uma função
atinge valores mínimos ou máximos. Em particular, distinguimos entre extremos globais (ou absolutos) e extremos locais, e analisamos como a derivada de
nos ajuda a encontrar esses pontos.
Passo 2
Definição de extremos globais. Dizemos que
é
– um mínimo global de em um domínio
se, para todo
,
– um mínimo global de
– um máximo global de
em
se, para todo
,
Esses valores são os menores e maiores de toda a função sobre
.
Passo 3
Definição de extremos locais. Dizemos que
é
– um mínimo local de se existe um intervalo aberto
tal que, para todo
nesse intervalo,
– um mínimo local de
– um máximo local de
se existe
tal que, para todo
,
Note que um extremo global também é local desde que
não seja ponto de fronteira de
, mas nem todo extremo local é global.
Passo 4
Relação com derivadas (caso
seja diferenciável em
e
fique no interior de
):
- Ponto crítico é
tal que
- Teorema de Fermat: se
tem extremo local em e é derivável ali, então é ponto crítico. - Teste da segunda derivada: se
existir,
–indica mínimo local,
–indica máximo local,
–torna inconclusivo (pode ser ponto de inflexão).
Passo 5
Relação entre locais e globais:
- Todo extremo global interior do domínio é também extremo local.
- Um extremo local não precisa ser global (pode haver valores maiores ou menores em outros pontos de
). - Para identificar possíveis extremos (locais ou globais), primeiro encontramos pontos críticos via
, depois usamos testes (segunda derivada ou comparações de valores) para classificar e comparar globalmente.
Resposta
- Um extremo global é o menor (ou maior) valor que
assume em todo o domínio, enquanto um extremo local é o menor (ou maior) valor só em uma vizinhança de um ponto. - Se
é diferenciável e atinge um extremo local em um ponto interior, então esse ponto é um ponto crítico, ou seja, (ou não existe). - O teste da segunda derivada classifica pontos críticos:
dá mínimo local, dá máximo local, e é inconclusivo. - Extremos globais internos são sempre locais, mas nem todo extremo local é global; para achar o global, comparamos valores de
nos candidatos (pontos críticos e fronteira).