1. Considere
\mathbf{r}(t)=\left\langle t, t^{3}, t^{4}\right\rangle
a) Determine \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t) .
b) Determine a componente tangencial da aceleração.
c) Determine a componente normal da aceleração.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\mathbf{r}(t)=\left\langle t,\; t^{3},\; t^{4}\right\rangle
e pede três coisas:
  • (a) determinar \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t);
  • (b) determinar a componente tangencial da aceleração;
  • (c) determinar a componente normal da aceleração.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função vetor \mathbf{r}(t) tem componentes escalares x(t)=t, y(t)=t^3, z(t)=t^4.
  • Para obter velocidade e aceleração basta derivar componente a componente.
  • Para componentes tangencial e normal da aceleração serão usadas as fórmulas usuais (detalho nas próximas etapas).

Passo 2

Vamos lembrar como derivar um vetor função: deriva-se cada componente separadamente. Assim a velocidade é \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t).
Derivando componente a componente:
\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)=1,\qquad \frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2},\qquad \frac{d}{dt}\bigl(t^{4}\bigr)=4t^{3}.
Portanto
\mathbf{v}(t)=\left\langle 1,\;3t^{2},\;4t^{3}\right\rangle.

Passo 3

A aceleração é a derivada da velocidade: \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\mathbf{r}''(t). Derivando cada componente de \mathbf{v}(t):
\frac{d}{dt}\bigl(1\bigr)=0,\qquad \frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)=6t,\qquad \frac{d}{dt}\bigl(4t^{3}\bigr)=12t^{2}.
Logo
\mathbf{a}(t)=\left\langle 0,\;6t,\;12t^{2}\right\rangle.

Passo 4

Antes de achar as componentes tangencial e normal, precisamos do módulo da velocidade (a rapidez) |\mathbf{v}(t)|. A definição é |\mathbf{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Aqui:
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{1^{2}+(3t^{2})^{2}+(4t^{3})^{2}} =\sqrt{1+9t^{4}+16t^{6}}.

Passo 5

Componente tangencial da aceleração \;a_{T};:
  • Intuição e fórmula: a_{T} é a taxa de variação da rapidez ao longo do tempo. Duas formas equivalentes de calculá-lo são a_{T}=\frac{d}{dt}|\mathbf{v}| \qquad\text{ou}\qquad a_{T}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{v}|}.
  • A segunda forma costuma ser mais direta porque evita calcular derivada da raiz explicitamente. Vamos usá-la.
Calcule o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=1\cdot 0 + (3t^{2})\cdot(6t) + (4t^{3})\cdot(12t^{2}).
Compute termo a termo:
(3t^{2})(6t)=18t^{3},\qquad (4t^{3})(12t^{2})=48t^{5}.
Somando:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=18t^{3}+48t^{5}=6t^{3}(3+8t^{2}).
Agora aplicamos a fórmula:
a_{T}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{v}|} =\frac{18t^{3}+48t^{5}}{\sqrt{1+9t^{4}+16t^{6}}} =\frac{6t^{3}(3+8t^{2})}{\sqrt{1+9t^{4}+16t^{6}}}.
Observação sobre o sinal: esta expressão preserva o sinal de t^{3}. Quando t é negativo o a_{T} pode ser negativo (significa que a rapidez está diminuindo).

Passo 6

Componente normal da aceleração a_{N}:
  • Intuição e fórmulas: a_{N} mede a parte da aceleração que muda a direção da velocidade (curvatura). Duas fórmulas equivalentes úteis são a_{N}=\sqrt{|\mathbf{a}|^{2}-a_{T}^{2}} \qquad\text{ou}\qquad a_{N}=\frac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|}.A segunda é frequentemente mais prática para cálculo explícito; vamos usá-la.
Primeiro calculemos o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{a}. Usando determinante (expansão por componentes):
\mathbf{v}\times\mathbf{a}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & 3t^{2} & 4t^{3}\\[4pt] 0 & 6t & 12t^{2} \end{vmatrix}.
Expandindo:
\mathbf{v}\times\mathbf{a} =\bigl((3t^{2})(12t^{2})-(4t^{3})(6t)\bigr)\,\mathbf{i} -\bigl(1\cdot(12t^{2})-(4t^{3}\cdot 0)\bigr)\,\mathbf{j} +\bigl(1\cdot(6t)-(3t^{2}\cdot 0)\bigr)\,\mathbf{k}.
Calcule cada componente:
\mathbf{i}:\;36t^{4}-24t^{4}=12t^{4}, \qquad \mathbf{j}:\;-(12t^{2}-0)=-12t^{2}, \qquad \mathbf{k}:\;6t.
Portanto
\mathbf{v}\times\mathbf{a}=\left\langle 12t^{4},\,-12t^{2},\,6t\right\rangle.
Agora o módulo |\mathbf{v}\times\mathbf{a}|:
|\mathbf{v}\times\mathbf{a}| =\sqrt{(12t^{4})^{2}+(-12t^{2})^{2}+(6t)^{2}} =\sqrt{144t^{8}+144t^{4}+36t^{2}}.
Fatorando 36t^{2}:
|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|=6|t|\sqrt{4t^{6}+4t^{2}+1}.
(Aqui aparece |t| porque a raiz quadrada dá valor não negativo.)
Finalmente:
a_{N}=\frac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|} =\frac{6|t|\sqrt{4t^{6}+4t^{2}+1}}{\sqrt{1+9t^{4}+16t^{6}}}.
Se preferir a_{N} também pode ser obtido por a_{N}=\sqrt{|\mathbf{a}|^{2}-a_{T}^{2}}; ambos dão a mesma magnitude não negativa.]

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{v}(t)=\left\langle 1,\;3t^{2},\;4t^{3}\right\rangle,\qquad \mathbf{a}(t)=\left\langle 0,\;6t,\;12t^{2}\right\rangle\
(b) \displaystyle a_{T}=\frac{18t^{3}+48t^{5}}{\sqrt{1+9t^{4}+16t^{6}}} =\frac{6t^{3}(3+8t^{2})}{\sqrt{1+9t^{4}+16t^{6}}}\
(c) \displaystyle a_{N}=\frac{6|t|\sqrt{4t^{6}+4t^{2}+1}}{\sqrt{1+9t^{4}+16t^{6}}}

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