Antes de achar as componentes tangencial e normal, precisamos do módulo da velocidade (a rapidez) |\mathbf{v}(t)|. A definição é |\mathbf{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Intuição e fórmula: a_{T} é a taxa de variação da rapidez ao longo do tempo. Duas formas equivalentes de calculá-lo sãoa_{T}=\frac{d}{dt}|\mathbf{v}| \qquad\text{ou}\qquad a_{T}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{v}|}.
A segunda forma costuma ser mais direta porque evita calcular derivada da raiz explicitamente. Vamos usá-la.
Calcule o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}:
Observação sobre o sinal: esta expressão preserva o sinal de t^{3}. Quando t é negativo o a_{T} pode ser negativo (significa que a rapidez está diminuindo).
Passo 6
Componente normal da aceleração a_{N}:
Intuição e fórmulas: a_{N} mede a parte da aceleração que muda a direção da velocidade (curvatura). Duas fórmulas equivalentes úteis sãoa_{N}=\sqrt{|\mathbf{a}|^{2}-a_{T}^{2}} \qquad\text{ou}\qquad a_{N}=\frac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|}.A segunda é frequentemente mais prática para cálculo explícito; vamos usá-la.
Primeiro calculemos o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{a}. Usando determinante (expansão por componentes):