Considere a curva r(t)=(a cos t, b sin t, 0), a>b>0, a, b in R, t in[0,2 pi[.
Obtenha os valores de t para os quais a curvatura máxima e mínima. Justifique geometricamente.
Resp.: Elipse no plano x y ; k(t)=a b(a^2 sin ^2 t+b^2 cos ^2 t)^3 / 2; Máx: 0, pi e Min: pi2, 3 pi2

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
vec r(t) = (acos t,;bsin t,;0), a>b>0,;tin[0,2pi[
no plano xy, e pede os valores de t para os quais a curvatura é máxima e mínima. Vamos usar a fórmula da curvatura de uma curva regular no espaço
kappa(t)=l|vec r,'(t)timesvec r,''(t)r|l|vec r,'(t)r|^3

Passo 2

Calculamos as derivadas primeiras e segundas:
vec r,'(t)=(-,asin t,;bcos t,;0),
vec r,''(t)=(-,acos t,;-,bsin t,;0)

Passo 3

O produto vetorial é
vec r,'(t)timesvec r,''(t)=(0,0,,-absin^2t - abcos^2t)=(0,0,-ab)
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l|vec r,'timesvec r,''r|=ab
Além disso
|vec r,'(t)|^2 = a^2sin^2t + b^2cos^2t,
então
|vec r,'(t)| = raiza^2sin^2t + b^2cos^2t

Passo 4

Substituindo na fórmula da curvatura obtemos
kappa(t)=abl(a^2sin^2t + b^2cos^2tr)^3/2

Passo 5

Para achar extremos de kappa(t) basta extremizar o denominador
g(t)=a^2sin^2t + b^2cos^2t
Derivando:
g'(t)=2sin tcos t,(a^2 - b^2)
Como a^2-b^2>0, as raízes de g'(t)=0 são
sin tcos t=0;Longrightarrow;t=0,;tfracpi2,;pi,;tfrac3pi2pmod2pi

Passo 6

Avaliando g(t) em cada ponto:
  • Para t=0,pi: g= b^2;Rightarrow;kappa=ab(b^2)^3/2=ab^2
  • Para t=tfracpi2,tfrac3pi2: g= a^2;Rightarrow;kappa=ab(a^2)^3/2=ba^2
Como a>b, tem tfracab^2>tfracba^2. Logo a curvatura é máxima em t=0,pi e mínima em t=tfracpi2,tfrac3pi2.

Passo 7

Geometricamente, nos pontos t=0,pi a elipse atinge os vértices do eixo maior ( pm a,0), onde o raio de curvatura é menor (curvatura maior). Nos pontos t=tfracpi2,tfrac3pi2 ela atinge os vértices do eixo menor (0,pm b), onde o raio de curvatura é maior (curvatura menor).

Resposta

A curvatura é máxima em
t=0,;pi
e mínima em
t=pi2,;3pi2

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