Determine os vetores veçocidade e aceleração, a aceleração escalar e as componentes normal e tangencial da aceleração, quando , para uma partícula que se move ao longo da curva . Resp.: Velocidade: ; acelelração: ; aceleração escalar:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula ao longo de uma curva definida por . O que precisamos aqui é calcular:
O vetor velocidade
O vetor aceleração
A aceleração escalar
As componentes tangencial e normal da aceleração
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normas de vetores. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor posição da partícula, que já é dado: .
Para achar o vetor velocidade, precisamos derivar em relação ao tempo .
Passo 3
Vamos derivar cada componente de :
Derivada de :
Derivada de :
Derivada de :
Então, o vetor velocidade fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor aceleração derivando em relação ao tempo:
Derivando cada componente de :
Derivada de :
Derivada de :
Derivada de :
Portanto, o vetor aceleração é:
Passo 5
Vamos agora avaliar os vetores velocidade e aceleração no instante .
Primeiro, para :
Sabemos que e , então:
Passo 6
Agora, para :
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos calcular a aceleração escalar, que é a norma do vetor aceleração. A fórmula para a norma de é:
Substituindo os valores de :
Passo 8
Agora, vamos encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração.
Primeiro, a componente tangencial é dada por:
Vamos calcular :
E a norma de :
Então:
Passo 9
Por fim, a componente normal é calculada usando a relação: