Determine os vetores veçocidade e aceleração, a aceleração escalar e as componentes normal e tangencial da aceleração, quando t=pi / 2, para uma partícula que se move ao longo da curva alpha(t)=(t cos t, t sin t, t). Resp.: Velocidade: (-pi2, 1,1); acelelração: (-2, -pi2, 0); aceleração escalar: raiz16+pi^22 ; aT=piraiz8+pi^2 ; aN=raizpi^4+20 pi^2+968 raiz8+pi^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula ao longo de uma curva definida por alpha(t) = (t cos t, t sin t, t). O que precisamos aqui é calcular:
  • O vetor velocidade v
  • O vetor aceleração a
  • A aceleração escalar
  • As componentes tangencial aT e normal aN da aceleração
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e normas de vetores. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição da partícula, que já é dado: alpha(t) = (t cos t, t sin t, t).
Para achar o vetor velocidade v, precisamos derivar alpha(t) em relação ao tempo t.
v(t) = dalpha(t)dt

Passo 3

Vamos derivar cada componente de alpha(t):
  1. Derivada de t cos t:
ddt(t cos t) = cos t - t sin t
  1. Derivada de t sin t:
ddt(t sin t) = sin t + t cos t
  1. Derivada de t:
ddt(t) = 1
Então, o vetor velocidade fica:
v(t) = (cos t - t sin t, sin t + t cos t, 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor aceleração a derivando v(t) em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Derivando cada componente de v(t):
  1. Derivada de cos t - t sin t:
ddt(cos t - t sin t) = -sin t - sin t - t cos t = -2sin t - t cos t
  1. Derivada de sin t + t cos t:
ddt(sin t + t cos t) = cos t + cos t - t sin t = 2cos t - t sin t
  1. Derivada de 1:
ddt(1) = 0
Portanto, o vetor aceleração é:
a(t) = (-2sin t - t cos t, 2cos t - t sin t, 0)

Passo 5

Vamos agora avaliar os vetores velocidade e aceleração no instante t = pi2.
Primeiro, para v:
v(pi2) = (cos(pi2) - pi2 sin(pi2), sin(pi2) + pi2 cos(pi2), 1)
Sabemos que cos(pi2) = 0 e sin(pi2) = 1, então:
v(pi2) = (0 - pi2 cdot 1, 1 + pi2 cdot 0, 1) = (-pi2, 1, 1)

Passo 6

Agora, para a:
a(pi2) = (-2sin(pi2) - pi2 cos(pi2), 2cos(pi2) - pi2 sin(pi2), 0)
Substituindo os valores:
a(pi2) = (-2 cdot 1 - pi2 cdot 0, 2 cdot 0 - pi2 cdot 1, 0) = (-2, -pi2, 0)

Passo 7

Agora, vamos calcular a aceleração escalar, que é a norma do vetor aceleração. A fórmula para a norma de a é:
|a| = raizax^2 + ay^2 + az^2
Substituindo os valores de a(pi2):
|a| = raiz(-2)^2 + (-pi2)^2 + 0^2 = raiz4 + pi^24 = raiz16 + pi^22

Passo 8

Agora, vamos encontrar as componentes tangencial aT e normal aN da aceleração.
Primeiro, a componente tangencial aT é dada por:
aT = v cdot a|v|
Vamos calcular v cdot a:
v cdot a = (-pi2)(-2) + (1)(-pi2) + (1)(0) = pi - pi2 = pi2
E a norma de v:
|v| = raiz(-pi2)^2 + 1^2 + 1^2 = raizpi^24 + 2 = raizpi^2 + 84 = raiz8 + pi^22
Então:
aT = pi2raiz8 + pi^22 = piraiz8 + pi^2

Passo 9

Por fim, a componente normal aN é calculada usando a relação:
aN = raiz|a|^2 - aT^2
Já temos |a| = raiz16 + pi^22 e aT = piraiz8 + pi^2.
Vamos calcular:
aN = raiz(raiz16 + pi^22)^2 - (piraiz8 + pi^2)^2 = raiz16 + pi^24 - pi^28 + pi^2
Simplificando as frações:
aN = raiz16 + pi^24 - pi^28 + pi^2 = raiz(16 + pi^2)(8 + pi^2) - 4pi^24(8 + pi^2)
Calculando o numerador:
(16 + pi^2)(8 + pi^2) = 128 + 16pi^2 + 8pi^2 + pi^4 = 128 + 24pi^2 + pi^4
Então:
aN = raiz128 + 24pi^2 + pi^4 - 4pi^24(8 + pi^2) = raiz128 + 20pi^2 + pi^44(8 + pi^2) = raizpi^4 + 20pi^2 + 1282raiz8 + pi^2
Simplificando:
aN = raizpi^4 + 20pi^2 + 1282raiz8 + pi^2 = raizpi^4 + 20pi^2 + 1288raiz8 + pi^2 times 4 = raizpi^4 + 20pi^2 + 1288raiz8 + pi^2

Resposta

Velocidade: (-pi2, 1, 1)
Aceleração: (-2, -pi2, 0)
Aceleração Escalar: raiz16 + pi^22
Componente Tangencial da Aceleração ( aT): piraiz8 + pi^2
Componente Normal da Aceleração ( aN): raizpi^4 + 20pi^2 + 1288 raiz8 + pi^2

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