Descreva o movimento de uma partícula com posição x=3+2 cos t, y=1+2 sen t quando t varia no intervalo [pi / 2,3 pi / 2 ], indicando com setas o sentido do movimento.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma partícula que se move de acordo com as equações x = 3 + 2 cos t e y = 1 + 2 sin t para valores de t entre pi2 e 3pi2 . O que isso significa? Basicamente, estamos lidando com movimentos circulares, já que as funções cosseno e seno descrevem uma circunferência. Vamos precisar entender um pouco sobre movimentos circulares paramétricos para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a trajetória da partícula. As equações x = 3 + 2 cos t e y = 1 + 2 sin t representam um círculo. O que diz isso? Que o centro do círculo está no ponto (3, 1) e o raio é 2, já que os coeficientes de cos t e sin t são 2.

Passo 3

Agora, vamos analisar como a partícula se movimenta ao variar t . O parâmetro t geralmente representa o ângulo em radianos que a partícula faz com o eixo positivo de x . Conforme t aumenta, a partícula se move ao redor do círculo.

Passo 4

Vamos ver os pontos específicos nos limites do intervalo de t :
  • Quando t = pi2 :
x = 3 + 2 cos (pi2) = 3 + 0 = 3
y = 1 + 2 sin (pi2) = 1 + 2 = 3
Então, o ponto inicial é (3, 3) .
  • Quando t = 3pi2 :
x = 3 + 2 cos (3pi2) = 3 + 0 = 3
y = 1 + 2 sin (3pi2) = 1 - 2 = -1
O ponto final é (3, -1) .

Passo 5

Com esses pontos, podemos perceber que a partícula começa no topo do círculo e se move até a parte de baixo. Mas qual é a direção desse movimento? Usando as propriedades das funções cosseno e seno, sabemos que conforme t aumenta, o movimento é no sentido anti-horário.

Passo 6

Para visualizar melhor, imagine o círculo com centro em (3, 1) e raio 2. A partícula parte do ponto (3, 3) , que está diretamente acima do centro, e se move para (3, -1) , passando pelo lado esquerdo do círculo.

Passo 7

Então, desenhando o círculo, colocamos setas que começam em (3, 3) apontando para a esquerda, seguindo o contorno anti-horário até chegar em (3, -1) . Essas setas indicam o sentido do movimento da partícula ao longo do intervalo de t .

Resposta

A partícula se move ao longo de um círculo com centro em (3, 1) e raio 2, iniciando no ponto (3, 3) e seguindo em sentido anti-horário até chegar em (3, -1) conforme t varia de pi2 a 3pi2 . As setas no desenho indicam esse sentido anti-horário do movimento.

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