Considere a curva C parametrizada por
r(t)=(cos t+t sin t, sin t-t cos t, 12 t^2), 0 <= t <= ell
(c) Existe algum alpha in[0, ell] tal que r(0)=r(alpha) ?

Passo 1

O enunciado apresenta a curva paramétrica
vec r(t)=l(cos t + tsin t,;sin t - tcos t,;tfrac12t^2r), 0<= t<=ell
e pergunta se existe algum alphain[0,ell] tal que vec r(alpha)=vec r(0).

Passo 2

Vamos primeiro achar
vec r(0) = (cos0 + 0cdotsin0,;sin0 - 0cdotcos0,;tfrac12cdot0^2) = (1,,0,,0)

Passo 3

Impor vec r(alpha)=vec r(0) gera o sistema de três equações:
cosalpha + alphasinalpha = 1,
sinalpha - alphacosalpha = 0,
tfrac12,alpha^2 = 0

Passo 4

Da última equação segue alpha^2=0, portanto
alpha=0
Esse valor trivial satisfaz também as duas primeiras equações, e não existe outro alpha em [0,ell].

Resposta

alpha=0.

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