Considere a curva C parametrizada por
r(t)=(cos t+t sin t, sin t-t cos t, 12 t^2), 0 <= t <= ell
(e) Calcule a integral de linha
integralC F cdot d r
onde F(x, y, z)=(x, y, z^2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC vec Fcdot dvec r
onde a curva C está parametrizada por
vec r(t)=l(x(t),y(t),z(t)r)=l(cos t+tsin t,;sin t-tcos t,;tfrac12t^2r), 0<= t<=ell,
e o campo é vec F(x,y,z)=(x,y,z^2). Vamos usar a fórmula
integralCvec Fcdot dvec r =integral0^ellvec Fl(vec r(t)r)cdotvec r,'(t),dt

Passo 2

Calculamos vec r,'(t) e vec Fl(vec r(t)r):
Derivando componente a componente,
x'(t)=-sin t+sin t+tcos t=tcos t, y'(t)=cos t-cos t+tsin t=tsin t, z'(t)=t
Logo,
vec r,'(t)=(tcos t,;tsin t,;t)
Substituindo em vec F,
vec Fl(vec r(t)r) =l(x(t),y(t),z(t)^2r) =l(cos t+tsin t,;sin t-tcos t,;tfrac14,t^4r)

Passo 3

Fazendo o produto escalar
vec Fl(vec r(t)r)cdotvec r,'(t) =(cos t+tsin t)(tcos t)+(sin t-tcos t)(tsin t)+tfrac14,t^4cdot t
Os dois primeiros termos somam-se a
tl(cos^2t+sin^2tr)=t,
e o terceiro é tfrac14,t^5. Logo o integrando é
t+tfrac14,t^5

Passo 4

Integramos de 0 a ell:
integral0^elll(t+tfrac14,t^5r)dt =integral0^ellt,dt+tfrac14integral0^ellt^5,dt =l[tfrac12t^2r]0^ell +tfrac14l[tfrac16t^6r]0^ell =tfrac12ell^2+tfrac124ell^6

Resposta

12,ell^2+124,ell^6

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