Considere a curva C parametrizada por
r(t)=(cos t+t sin t, sin t-t cos t, 12 t^2), 0 <= t <= ell
Se f(x, y, z)=z, calcule
integral f(x, y, z) d s

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha
integralC f(x,y,z),ds
para a curva C dada por
r(t)=l(cos t + tsin t, sin t - tcos t, tfrac12t^2r), 0<= t<= ell
e para o campo escalar f(x,y,z)=z.
O conteúdo é integral de linha de campo escalar, que exige calcular r'(t), seu comprimento e depois integrar f(r(t)),.

Passo 2

Usamos a fórmula da integral de linha de campo escalar:
integralC f(x,y,z),ds =integral0^ellfl(r(t)r),l|!r'(t)r|,dt

Passo 3

Calculamos a derivada !r'(t):
r'(t) =l(-sin t +(sin t + tcos t),;cos t -(cos t - tsin t),;tr) =(tcos t,;tsin t,;t)
Em seguida, o comprimento de r'(t) é
l|r'(t)r| =raiz(tcos t)^2+(tsin t)^2+t^2 =raizt^2+t^2 =raiz2,t

Passo 4

Temos f(r(t))=z(t)=tfrac12t^2 e ds=raiz2,t,dt. Logo
integralC f,ds =integral0^ell12t^2;l(raiz2,tr),dt =raiz22integral0^ellt^3,dt =raiz22cdotell^44 =raiz2,ell^48

Resposta

boxedraiz2,ell^48

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