Encontre uma representação paramétrica para a superfície S, onde S é a parte do cilindro x^2+y^2=4 que fica entre os planos z=-2 e y+z=2.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte lateral do cilindro
x^2 + y^2 = 4
que fica “entre” o plano inferior
z = -2
e o plano superior
y + z = 2
O conteúdo é parametrização de superfícies cilíndricas em coordenadas polares.

Passo 2

Como o cilindro é vertical de raio 2, podemos usar o ângulo theta para parametrizar a curva de base no plano xy:
x = 2costheta, y = 2sintheta,
com theta variando de 0 a 2pi.

Passo 3

Para cada ponto (x,y) desse cilindro, a coordenada z fica limitada por
zmin = -2
e por
zmax = 2 - y = 2 - 2sintheta,
visto que a interseção com o plano y+z=2 z=2-y.

Passo 4

Uma maneira direta de parametrizar é tomar theta e z como parâmetros:
r(theta,z) = l(2costheta,;2sintheta,;zr),
onde
0 <= theta <= 2pi, -2 <= z <= 2 - 2sintheta

Passo 5

Se quisermos um único retângulo de parâmetros (theta,u)in[0,2pi]times[0,1], basta escrever
z=-2 + ul((2-2sintheta)-(-2)r) =-2 + ul(4 - 2sinthetar),
levando a
r(theta,u) = l(2costheta,;2sintheta,;-2 + u(4 - 2sintheta)r),
com
0<=theta<=2pi, 0<= u<=1

Resposta

Uma parametrização conveniente é
boxed r(theta,z) = l(2costheta,;2sintheta,;zr), 0<=theta<=2pi, ; -2<= z<=2-2sintheta

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