Seja
definida em tal que
.
Determine os valores máximos e míninos absolutos de
na região tal que
.
Determine os valores máximos e míninos absolutos de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
e precisamos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos dessa função na região
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente a busca por extremos absolutos em uma região fechada e limitada. Vamos verificar os pontos críticos dentro da região e também explorar a fronteira da região para garantir que encontramos todos os possíveis máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Então, o único ponto crítico dentro da região é
.
Passo 3
Agora, vamos avaliar a função nesse ponto crítico:
Esse é um candidato para o mínimo absoluto, mas precisamos verificar também ao longo da fronteira da região
.
Passo 4
A fronteira da região
é definida por
. Para explorar essa fronteira, podemos usar o método de multiplicadores de Lagrange ou parametrizar a curva. Vamos parametrizar para simplificar.
Podemos escrever a equação da fronteira como:
Então, podemos parametrizar usando um ângulo
:
onde
varia de
a
.
Passo 5
Substituindo essas parametrizações na função
:
Vamos simplificar:
Passo 6
Para encontrar os extremos dessa expressão, podemos usar uma identidade trigonométrica. Sabemos que
, então:
Passo 7
Para encontrar os valores máximos e mínimos de
, observamos que
varia entre 0 e 1.
- Quando
:
- Quando
:
Passo 8
Então, ao longo da fronteira, a função
varia entre 9 e aproximadamente 182,25.
Lembrando que no ponto crítico
,
.
Comparando todos os valores:
- Mínimo absoluto:
no ponto - Máximo absoluto: aproximadamente
em pontos na fronteira onde , ou seja, . Usando a parametrização:
Resposta
O valor mínimo absoluto de
na região
é
no ponto
e o valor máximo absoluto é aproximadamente
nos pontos
e
.