Seja definida em tal que .
Determine os valores máximos e míninos absolutos de na região tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função f(x, y) = 81x^2 + y^2 e precisamos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos dessa função na região D = (x, y) in R^2 mid 4x^2 + y^2 <= 9 .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente a busca por extremos absolutos em uma região fechada e limitada. Vamos verificar os pontos críticos dentro da região e também explorar a fronteira da região para garantir que encontramos todos os possíveis máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função f(x, y) . Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a x e y são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial fpartial x = 162x
partial fpartial y = 2y
Igualando a zero:
162x = 0 implies x = 0
2y = 0 implies y = 0
Então, o único ponto crítico dentro da região é (0, 0) .

Passo 3

Agora, vamos avaliar a função nesse ponto crítico:
f(0, 0) = 81(0)^2 + (0)^2 = 0
Esse é um candidato para o mínimo absoluto, mas precisamos verificar também ao longo da fronteira da região D .

Passo 4

A fronteira da região D é definida por 4x^2 + y^2 = 9 . Para explorar essa fronteira, podemos usar o método de multiplicadores de Lagrange ou parametrizar a curva. Vamos parametrizar para simplificar.
Podemos escrever a equação da fronteira como:
x^2(32)^2 + y^23^2 = 1
Então, podemos parametrizar usando um ângulo theta :
x = 32 cos theta
y = 3 sin theta
onde theta varia de 0 a 2pi .

Passo 5

Substituindo essas parametrizações na função f(x, y) :
f(32 cos theta, 3 sin theta) = 81(32 cos theta)^2 + (3 sin theta)^2
Vamos simplificar:
= 81 (94 cos^2 theta) + 9 sin^2 theta
= 7294 cos^2 theta + 9 sin^2 theta

Passo 6

Para encontrar os extremos dessa expressão, podemos usar uma identidade trigonométrica. Sabemos que cos^2 theta = 1 - sin^2 theta , então:
f = 7294 (1 - sin^2 theta) + 9 sin^2 theta
= 7294 - 7294 sin^2 theta + 9 sin^2 theta
= 7294 - (7294 - 9) sin^2 theta
= 7294 - 6934 sin^2 theta

Passo 7

Para encontrar os valores máximos e mínimos de f , observamos que sin^2 theta varia entre 0 e 1.
  • Quando sin^2 theta = 0 :
f = 7294 approx 182,25
  • Quando sin^2 theta = 1 :
f = 7294 - 6934 = 364 = 9

Passo 8

Então, ao longo da fronteira, a função f varia entre 9 e aproximadamente 182,25.
Lembrando que no ponto crítico (0, 0) , f(0, 0) = 0 .
Comparando todos os valores:
  • Mínimo absoluto: 0 no ponto (0, 0)
  • Máximo absoluto: aproximadamente 182,25 em pontos na fronteira onde sin^2 theta = 0 , ou seja, y = 0 . Usando a parametrização:
x = 32, y = 0 e x = -32, y = 0

Resposta

O valor mínimo absoluto de f na região D é 0 no ponto (0, 0) e o valor máximo absoluto é aproximadamente 182,25 nos pontos (32, 0) e (-32, 0) .

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