Considere a curva r, parametrizada pelo comprimento de arco, com curvatura k e torção tau. Mostre que
|d^3 rd s^3|^3=k^4+k^2 tau^2+(d kd s)^2

Passo 1

Vamos considerar uma curva vec r(s) parametrizada por comprimento de arco, com curvatura k(s) e torção tau(s). Precisamos mostrar a relação entre o módulo da terceira derivada d^3vec r/ds^3 e k,tau,dk/ds.

Passo 2

De acordo com as fórmulas de Frenet–Serret, definimos o triêto ortonormal (T,N,B) pela:
T=dvec rds, T'=k,N, N'=-k,T+tau,B, B'=-tau,N

Passo 3

Como T=vec r', temos
vec r''=T'=k,N
Agora derivamos novamente para obter o terceiro derivada:
Usando vec r'' = kN e derivando,
$$
\vec r’’’ = \frac{d}{ds}(kN) = k’,N + k,N’.
vec r''' = dds(kN) = k',N + k,N'
\vec r’’’ = k’,N + k(-kT+\tau B) = -k^2 T + k’ N + k\tau B.
$$

Passo 4

Como (T,N,B) é ortonormal, o quadrado do módulo de vec r''' é a soma dos quadrados dos coeficientes:
llvertvec r'''rrvert^2 = (-k^2)^2 + (k')^2 + (ktau)^2 = k^4 + l(tfracdkdsr)^2 + k^2tau^2

Passo 5

Essa identidade é exatamente o que se pedia, pois a relação entre o módulo de d^3vec r/ds^3 e os invariantes k,,tau e dk/ds fica estabelecida.

Resposta

llverttfracd^3vec rds^3rrvert^2 = k^4 + k^2tau^2 + l(tfracdkdsr)^2

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