Considere a curva , parametrizada pelo comprimento de arco, com curvatura e torção . Mostre que
Passo 1
Vamos considerar uma curva vec r(s) parametrizada por comprimento de arco, com curvatura k(s) e torção tau(s). Precisamos mostrar a relação entre o módulo da terceira derivada d^3vec r/ds^3 e k,tau,dk/ds.
Passo 2
De acordo com as fórmulas de Frenet–Serret, definimos o triêto ortonormal (T,N,B) pela:
T=dvec rds, T'=k,N, N'=-k,T+tau,B, B'=-tau,N
Passo 3
Como T=vec r', temos
vec r''=T'=k,N
Agora derivamos novamente para obter o terceiro derivada:
Usando vec r'' = kN e derivando,
$$
\vec r’’’ = \frac{d}{ds}(kN) = k’,N + k,N’.
vec r''' = dds(kN) = k',N + k,N'
\vec r’’’ = k’,N + k(-kT+\tau B) = -k^2 T + k’ N + k\tau B.
$$
Passo 4
Como (T,N,B) é ortonormal, o quadrado do módulo de vec r''' é a soma dos quadrados dos coeficientes: