Seja
uma curva parametrizada pelo comprimento de arco (isto é, com velocidade 1) e com
. Mostre que existe uma e somente uma circunferência
que aproxima
próximo de
no sentido que
Mostre que
está sobre o plano osculador de
em
e ache seu centro
e raio
. A circunferência
é chamada circunferência osculadora e
o centro de curvatura de
em
. Claro, o mesmo vale em qualquer ponto da curva.
Passo 1
Estamos com uma curva
parametrizada por comprimento de arco (
) e sabemos que a curvatura em
satisfaz
. O enunciado pede uma circunferência
que coincida com
em
até a segunda derivada, isto é,
Para resolver vamos usar o sistema de Frenet em
: o vetor tangente unitário
, o vetor normal principal
e a curvatura
. A “circunferência osculadora” vive no plano osculador gerado por
e
.
Passo 2
Num plano com base ortonormal
podemos parametrizar uma circunferência de raio
e centro
por
Esse parâmetro
é o comprimento de arco da circunferência, pois a curvatura de
será
.
Passo 3
Calculamos derivadas em
.
Derivando uma vez,
Derivando uma vez,
de modo que
.
Derivando de novo,
Derivando de novo,
logo
.
Passo 4
Impondo as condições iniciais da aproximação:
-
. -
. -
.
Da condição 3 identificamos
Da condição 2 vem
. Finalmente, da condição 1,
Passo 5
Concluímos que existe exatamente uma circunferência osculadora que satisfaz as três condições, pois as equações impuseram única escolha para
,
,
e
. Ela vive no plano osculador (espaço gerado por
e
) e tem raio
e centro de curvatura
Resposta
A circunferência osculadora em
está no plano osculador de
, tem raio
e centro de curvatura
.