Seja beta uma curva parametrizada pelo comprimento de arco (isto é, com velocidade 1) e com k(0)>0. Mostre que existe uma e somente uma circunferência gamma que aproxima beta próximo de beta(0) no sentido que
gamma(0)=beta(0), gamma^prime(0)=beta^prime(0), e gamma^prime prime(0)=beta^prime prime(0)
Mostre que gamma está sobre o plano osculador de beta em beta(0) e ache seu centro c e raio r. A circunferência gamma é chamada circunferência osculadora e c o centro de curvatura de beta em beta(0). Claro, o mesmo vale em qualquer ponto da curva.

Passo 1

Estamos com uma curva vecbeta(s) parametrizada por comprimento de arco ( |vecbeta'(s)|=1) e sabemos que a curvatura em s=0 satisfaz k(0)>0. O enunciado pede uma circunferência vecgamma(s) que coincida com vecbeta(s) em s=0 até a segunda derivada, isto é,
vecgamma(0)=vecbeta(0), vecgamma'(0)=vecbeta'(0), vecgamma''(0)=vecbeta''(0)
Para resolver vamos usar o sistema de Frenet em s=0: o vetor tangente unitário vec T(0)=vecbeta'(0), o vetor normal principal vec N(0)=vecbeta''(0)/|vecbeta''(0)| e a curvatura k(0)=|vecbeta''(0)|. A “circunferência osculadora” vive no plano osculador gerado por vec T(0) e vec N(0).

Passo 2

Num plano com base ortonormal (vec u,vec v) podemos parametrizar uma circunferência de raio r e centro vec c por
vecgamma(s)=vec c+rl(cos(s/r),vec u+sin(s/r),vec vr)
Esse parâmetro s é o comprimento de arco da circunferência, pois a curvatura de vecgamma será 1/r.

Passo 3

Calculamos derivadas em s=0.
Derivando uma vez,
vecgamma'(s) =-sin(s/r),vec u+cos(s/r),vec v,
de modo que
vecgamma'(0)=vec v.
Derivando de novo,
vecgamma''(s) =-tfrac1rcos(s/r),vec u-tfrac1rsin(s/r),vec v,
logo
vecgamma''(0)=-tfrac1r,vec u.

Passo 4

Impondo as condições iniciais da aproximação:
  1. vecgamma(0)=vec c+r,vec u=vecbeta(0).
  2. vecgamma'(0)=vec v=vec T(0)=vecbeta'(0).
  3. vecgamma''(0)=-tfrac1r,vec u=vecbeta''(0)=k(0),vec N(0).
Da condição 3 identificamos
-tfrac1r,vec u = k(0),vec N(0) Longrightarrow vec u=-vec N(0), tfrac1r=k(0)Longrightarrow r=tfrac1k(0)
Da condição 2 vem vec v=vec T(0). Finalmente, da condição 1,
vec c = vecbeta(0)-r,vec u =vecbeta(0)-tfrac1k(0)l(-vec N(0)r) =vecbeta(0)+tfrac1k(0),vec N(0)

Passo 5

Concluímos que existe exatamente uma circunferência osculadora que satisfaz as três condições, pois as equações impuseram única escolha para r, vec u, vec v e vec c. Ela vive no plano osculador (espaço gerado por vec T(0) e vec N(0)) e tem raio
r=1k(0)
e centro de curvatura
vec c=vecbeta(0)+1k(0),vec N(0)

Resposta

A circunferência osculadora em s=0 está no plano osculador de vecbeta, tem raio r=1/k(0) e centro de curvatura vec c=vecbeta(0)+tfrac1k(0)vec N(0).

Exercícios relacionados