Seja uma curva em , com curvatura e velocidade escalar . Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma curva vecbeta(t) em R^3 com velocidade escalar v=|vecbeta'(t)| e curvatura k, vale a identidade desejada. Vamos usar conceitos de T (vetor tangente unitário), derivadas e a definição de curvatura.
Passo 2
Escrevemos a velocidade vetorial como vecbeta'(t)=v,T, onde T(t) é o vetor tangente unitário à curva. Logo, v=|vecbeta'| e T=vecbeta'/v.
Passo 3
Aplicamos a regra do produto para derivar vecbeta'(t):
vecbeta''(t)=ddt(v,T)=dvdt,T+v,dTdt
Passo 4
Sabemos pela definição de curvatura que
dTds=k,N,
onde s é o parâmetro de comprimento de arco e N o vetor normal unitário. Como ds/dt=v, temos
dTdt=dTdsdsdt=k,v,N
Passo 5
Substituindo essa expressão em vecbeta'' obtém-se
vecbeta''=dvdt,T + v,(k,v,N)=v',T + k,v^2,N,
onde escrevemos v'=dv/dt.
Passo 6
Como T e N são ortogonais e unitários, o quadrado da norma de vecbeta'' é