Seja beta(t) uma curva em R^3, com curvatura k e velocidade escalar v. Mostre que
k^2 v^4=|beta^prime prime|^2-(d vd t)^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma curva vecbeta(t) em R^3 com velocidade escalar v=|vecbeta'(t)| e curvatura k, vale a identidade desejada. Vamos usar conceitos de T (vetor tangente unitário), derivadas e a definição de curvatura.

Passo 2

Escrevemos a velocidade vetorial como vecbeta'(t)=v,T, onde T(t) é o vetor tangente unitário à curva. Logo, v=|vecbeta'| e T=vecbeta'/v.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto para derivar vecbeta'(t):
vecbeta''(t)=ddt(v,T)=dvdt,T+v,dTdt

Passo 4

Sabemos pela definição de curvatura que
dTds=k,N,
onde s é o parâmetro de comprimento de arco e N o vetor normal unitário. Como ds/dt=v, temos
dTdt=dTdsdsdt=k,v,N

Passo 5

Substituindo essa expressão em vecbeta'' obtém-se
vecbeta''=dvdt,T + v,(k,v,N)=v',T + k,v^2,N,
onde escrevemos v'=dv/dt.

Passo 6

Como T e N são ortogonais e unitários, o quadrado da norma de vecbeta'' é
|vecbeta''|^2=(v')^2+(k,v^2)^2=(v')^2+k^2v^4
Rearranjando, vem
k^2v^4=|vecbeta''|^2-(v')^2

Resposta

k^2v^4=|vecbeta''(t)|^2-l(tfracdvdtr)^2

Exercícios relacionados