Considere a curva parametrizada sigma(t)=(cos t, sen t, 12 t), t in R. Determine:
(a) Vetor velocidade v(t) e Velocidade.

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva parametrizada em R^3
sigma(t)=l(cos t,;sin t,;tfrac12,tr), tinR,
e pede (a) o vetor velocidade v(t) e (b) a velocidade (módulo de v(t)). Para resolver isso, vamos usar derivação componente a componente e a fórmula da norma de um vetor em R^3.

Passo 2

Derivamos cada componente de sigma(t) em relação a t:
ddtl(cos tr)=-sin t, ddtl(sin tr)=cos t, ddtl(tfrac12,tr)=tfrac12
Logo, o vetor velocidade é
v(t)=sigma'(t) =l(-sin t,;cos t,;tfrac12r)

Passo 3

A velocidade escalar é o módulo de v(t). Aplicando
|v(t)| =raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+l(tfrac12r)^2 =raizsin^2 t+cos^2 t+tfrac14,
e como sin^2t+cos^2t=1, segue
|v(t)|=raiz1+tfrac14 =raiztfrac54 =raiz52

Passo 4

Concluímos que a velocidade escalar é constante e igual a tfracraiz52, independentemente de t.

Resposta

v(t)=l(-sin t,;cos t,;tfrac12r), |v(t)|=raiz52

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