Considere a curva parametrizada sigma(t)=(a cos t, b sen t) para t in R. Qual figura geométrica é descrita por essa curva?

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
sigma(t) = (acos t,;bsen t)
para tinR. O conteúdo aqui é reconhecimento de seções cônicas via formas paramétricas. Vamos mostrar que essa curva satisfaz a equação de uma elipse.

Passo 2

Denotando
x = acos t e y = bsen t,
podemos isolar cos t e sen t como
cos t = xa, sen t = yb

Passo 3

Aplicando a identidade trigonométrica cos^2t + sen^2t = 1, obtemos
l(xar)^2 + l(ybr)^2 = 1

Passo 4

A equação
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
é justamente a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento max(a,b) ao longo do eixo correspondente e semi-eixo menor de comprimento min(a,b).

Resposta

A curva descrita é uma elipse de centro em (0,0) e semi-eixos de comprimentos a na direção x e b na direção y.

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