Encontre o ângulo theta entre os vetores v=2 i-3 j e w=i+2 j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo theta entre os vetores v = 2i - 3j e w = i + 2j. Isso envolve o conteúdo de vetores e produto escalar. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar de dois vetores. Se temos dois vetores v = vxi + vyj e w = wxi + wyj, o produto escalar é dado por:
v cdot w = vx wx + vy wy
Então, vamos calcular o produto escalar de v e w.

Passo 3

Agora, calculando o produto escalar:
v cdot w = (2)(1) + (-3)(2) = 2 - 6 = -4
O produto escalar é igual a -4.

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular os módulos (ou normas) dos vetores v e w. A fórmula para o módulo de um vetor v = vxi + vyj é:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Vamos calcular cada um:
Para v:
|v| = raiz2^2 + (-3)^2 = raiz4 + 9 = raiz13
Para w:
|w| = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores:
v cdot w = |v| cdot |w| cdot cos(theta)
A gente já tem todos os valores, então podemos isolar o cos(theta):
cos(theta) = v cdot w|v| cdot |w|
Substituindo os valores:
cos(theta) = -4raiz13 cdot raiz5 = -4raiz65 approx -48.06 approx -0.497

Passo 6

Por fim, para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = cos^-1(-0.497) approx 120^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores v e w é aproximadamente 120^circ.

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