Encontre um vetor ortogonal a v=3 i+4 j e de mesmo comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um vetor que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) ao vetor v = 3i + 4j e que tenha o mesmo comprimento que esse vetor. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, como magnitude (comprimento) e ortogonalidade, além de usar um pouco de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o comprimento do vetor v. A fórmula para a magnitude de um vetor v = ai + bj é:
|v| = raiza^2 + b^2
Para o nosso vetor v = 3i + 4j:
|v| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então, o comprimento de v é 5 unidades.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor u que seja ortogonal a v e tenha o mesmo comprimento. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de v = ai + bj e u = ci + dj é:
v cdot u = a times c + b times d = 0
Sabemos que v = 3i + 4j, então:
3c + 4d = 0
Uma maneira fácil de encontrar um vetor ortogonal é trocar as componentes e mudar o sinal de uma delas. Então, se v = 3i + 4j, um vetor ortogonal seria u = -4i + 3j.

Passo 4

Vamos verificar se u tem o mesmo comprimento que v. Calculando a magnitude de u = -4i + 3j:
|u| = raiz(-4)^2 + 3^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Então, o comprimento de u também é 5, igual ao de v.

Resposta

Um vetor ortogonal a v = 3i + 4j e com o mesmo comprimento é u = -4i + 3j.

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