Encontre um vetor ortogonal
e de mesmo comprimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um vetor que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) ao vetor v = 3i + 4j e que tenha o mesmo comprimento que esse vetor. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, como magnitude (comprimento) e ortogonalidade, além de usar um pouco de álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o comprimento do vetor v. A fórmula para a magnitude de um vetor v = ai + bj é:
Para o nosso vetor v = 3i + 4j:
Então, o comprimento de v é 5 unidades.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor u que seja ortogonal a v e tenha o mesmo comprimento. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de v = ai + bj e u = ci + dj é:
Sabemos que v = 3i + 4j, então:
Uma maneira fácil de encontrar um vetor ortogonal é trocar as componentes e mudar o sinal de uma delas. Então, se v = 3i + 4j, um vetor ortogonal seria u = -4i + 3j.
Passo 4
Vamos verificar se u tem o mesmo comprimento que v. Calculando a magnitude de u = -4i + 3j:
Então, o comprimento de u também é 5, igual ao de v.
Resposta
Um vetor ortogonal a v = 3i + 4j e com o mesmo comprimento é u = -4i + 3j.