Uma partícula tem sua trajetória parametrizada por \left\{\begin{array}{l}x=\operatorname{sen}^{2} t, \\\ y=\cos ^{2} t,\end{array}\right. \operatorname{com} t \in[0,3 \pi].
(a) Calcule o comprimento da curva descrita pela trajetória da partícula.
(b) Calcule a distância percorrida pela partícula.
(c) Compare os dois itens anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\displaystyle x(t)=\sin^2t,\quad y(t)=\cos^2t,\;t\in[0,3\pi]
e pede:
(a) o comprimento da curva geométrica descrita;
(b) a distância efetivamente percorrida pela partícula;
(c) comparar (a) e (b).
Para (a) vamos reconhecer qual é a curva no plano. Para (b) usaremos a fórmula da distância percorrida \displaystyle\int_{0}^{3\pi}\|\mathbf v(t)\|\,dt, em que \mathbf v(t)=(x'(t),y'(t)).

Passo 2

Note que
\sin^2t+\cos^2t=1
para todo t. Logo o conjunto de pontos (x,y) que a partícula visita é a reta
x+y=1,
mas restringida ao segmento que vai de (0,1) a (1,0). Esse segmento tem comprimento geométrico dado pela distância entre seus extremos:
\sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}.
Portanto o comprimento da curva descrita (sem contar retracings) é
\boxed{\sqrt{2}}.

Passo 3

Agora calculamos a distância percorrida, que conta cada ida e volta da partícula. Primeiro derivadas:
x'(t)=2\sin t\cos t=\sin2t, \quad y'(t)=-2\sin t\cos t=-\sin2t.
O módulo da velocidade é
\|\mathbf v(t)\| =\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} =\sqrt{\sin^2(2t)+\sin^2(2t)} =\sqrt{2}\,\bigl|\sin2t\bigr|.
Logo a distância percorrida é
\int_{0}^{3\pi}\|\mathbf v(t)\|\,dt =\sqrt{2}\int_{0}^{3\pi}\bigl|\sin2t\bigr|\,dt.
Como \sin2t tem período \pi, em cada intervalo de comprimento \pi a integral de \bigl|\sin2t\bigr| vale 2. Em 3\pi há 3 períodos, logo
\int_{0}^{3\pi}\bigl|\sin2t\bigr|\,dt =3\times2=6.
Portanto
\boxed{\,\text{distância percorrida}=6\sqrt{2}\,.}â

Passo 4

Comparando: o comprimento geométrico da curva é \sqrt{2}, mas a partícula anda ao todo 6\sqrt{2}, porque ela vai e volta sobre o mesmo segmento várias vezes ao longo de t\in[0,3\pi].

Resposta

(a) \sqrt{2}
(b) 6\sqrt{2}
(c) A distância percorrida é seis vezes o comprimento geométrico da curva, pois a partícula retraça o segmento repetidamente.

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