Determine o vetor tangente unitário da curva C parametrizada por:
alpha(t)=(e^t^2+t+1, t-27t+8, sen^3(sen^2(t)))
no ponto t=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário da curva C parametrizada pela função alpha(t) no ponto onde t = 0 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores. O que a gente vai precisar é calcular a derivada de alpha(t) , avaliá-la em t = 0 e depois normalizar esse vetor para obter o vetor tangente unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial alpha(t) . Isso significa que vamos derivar cada componente da função em relação a t :
alpha(t) = ( e^t^2+t+1, t-27t+8, sin^3(sin^2(t)) )
Então, a derivada alpha'(t) será:
alpha'(t) = ( ddt ( e^t^2+t+1 ), ddt ( t-27t+8 ), ddt ( sin^3(sin^2(t)) ) )

Passo 3

Agora, vamos derivar cada componente:
  1. Para a primeira componente e^t^2+t+1 , usamos a regra da cadeia:
ddt ( e^t^2+t+1 ) = e^t^2+t+1 cdot (2t + 1)
  1. Para a segunda componente t-27t+8 , usamos a regra do quociente:
ddt ( t-27t+8 ) = (1)(t+8) - (1)(t-27)(t+8)^2 = (t + 8 - t + 27)(t+8)^2 = 35(t+8)^2
  1. Para a terceira componente sin^3(sin^2(t)) , também usamos a regra da cadeia:
ddt ( sin^3(sin^2(t)) ) = 3 sin^2(sin^2(t)) cdot cos(sin^2(t)) cdot 2 sin(t) cos(t)
Simplificando:
= 6 sin^2(sin^2(t)) cdot cos(sin^2(t)) cdot sin(t) cos(t)

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada alpha'(t) no ponto t = 0 :
  1. Primeira componente:
e^0^2+0+1 cdot (2 cdot 0 + 1) = e^1 cdot 1 = e
  1. Segunda componente:
35(0+8)^2 = 3564
  1. Terceira componente:
6 sin^2(sin^2(0)) cdot cos(sin^2(0)) cdot sin(0) cos(0) = 6 cdot sin^2(0) cdot cos(0) cdot 0 cdot 1 = 0
(Basta lembrar que sin(0) = 0 )
Então, temos:
alpha'(0) = ( e, 3564, 0 )

Passo 5

Agora, para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos normalizar alpha'(0) . Isso significa dividir cada componente pelo módulo (ou norma) do vetor alpha'(0) .
Primeiro, calculamos o módulo de alpha'(0) :
| alpha'(0) | = raize^2 + ( 3564 )^2 + 0^2 = raize^2 + 12254096 = raize^2 + 12254096
Vamos deixar o módulo na forma exata para facilitar a próxima etapa.
Então, o vetor tangente unitário T(0) é:
T(0) = 1| alpha'(0) | cdot alpha'(0) = ( eraize^2 + 12254096, 3564raize^2 + 12254096, 0 )

Resposta

O vetor tangente unitário da curva C no ponto t = 0 é:
T(0) = ( eraize^2 + 12254096, 3564raize^2 + 12254096, 0 )

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