Determine o vetor tangente unitário da curva parametrizada por:
no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário da curva parametrizada pela função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores. O que a gente vai precisar é calcular a derivada de , avaliá-la em e depois normalizar esse vetor para obter o vetor tangente unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial . Isso significa que vamos derivar cada componente da função em relação a :
Então, a derivada será:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada componente:
Para a primeira componente , usamos a regra da cadeia:
Para a segunda componente , usamos a regra do quociente:
Para a terceira componente , também usamos a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto :
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
(Basta lembrar que )
Então, temos:
Passo 5
Agora, para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos normalizar . Isso significa dividir cada componente pelo módulo (ou norma) do vetor .
Primeiro, calculamos o módulo de :
Vamos deixar o módulo na forma exata para facilitar a próxima etapa.
Então, o vetor tangente unitário é:
Resposta
O vetor tangente unitário da curva C no ponto t = 0 é: