Considere a curva parametrizada regular alpha(t)=(2 cos t, 4 sen t).
A curva alpha está parametrizada pelo comprimento de arco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar a curva parametrizada alpha(t) = (2 cos t, 4 sin t) e verificar se ela está parametrizada pelo comprimento de arco. Isso envolve entender um pouquinho de cálculo de curvas e como o comprimento de arco funciona. Vamos precisar calcular a velocidade da curva e ver se ela é constante igual a 1, que é a condição pra estar parametrizada pelo comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva estar parametrizada pelo comprimento de arco. Basicamente, isso quer dizer que a variável que parametriza a curva, no caso o t, representa exatamente o comprimento percorrido ao longo da curva. Para isso acontecer, a derivada da posição alpha(t) em relação a t (que dá a velocidade) precisa ter módulo constante igual a 1.

Passo 3

Então, vamos calcular a derivada de alpha(t) em relação a t. A derivada de alpha(t) = (2 cos t, 4 sin t) é:
alpha'(t) = ( ddt(2 cos t), ddt(4 sin t) ) = (-2 sin t, 4 cos t)

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, que representa a velocidade da curva:
|alpha'(t)| = raiz(-2 sin t)^2 + (4 cos t)^2 = raiz4 sin^2 t + 16 cos^2 t

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
4 sin^2 t + 16 cos^2 t = 4 (sin^2 t + 4 cos^2 t)
Não dá pra simplificar de forma que fique igual a 1, o que já indica que a velocidade não é constante igual a 1.

Passo 6

Como o módulo da derivada alpha'(t) não é igual a 1, isso significa que a velocidade da curva não é constante e, portanto, a parametrização por t não representa o comprimento de arco.

Resposta

Não, a curva alpha(t) = (2 cos t, 4 sin t) não está parametrizada pelo comprimento de arco.

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