Considere a curva parametrizada regular
.
A curva
está parametrizada pelo comprimento de arco?
A curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar a curva parametrizada
e verificar se ela está parametrizada pelo comprimento de arco. Isso envolve entender um pouquinho de cálculo de curvas e como o comprimento de arco funciona. Vamos precisar calcular a velocidade da curva e ver se ela é constante igual a 1, que é a condição pra estar parametrizada pelo comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva estar parametrizada pelo comprimento de arco. Basicamente, isso quer dizer que a variável que parametriza a curva, no caso o
, representa exatamente o comprimento percorrido ao longo da curva. Para isso acontecer, a derivada da posição
em relação a
(que dá a velocidade) precisa ter módulo constante igual a 1.
Passo 3
Então, vamos calcular a derivada de
em relação a
. A derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, que representa a velocidade da curva:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Não dá pra simplificar de forma que fique igual a 1, o que já indica que a velocidade não é constante igual a 1.
Passo 6
Como o módulo da derivada
não é igual a 1, isso significa que a velocidade da curva não é constante e, portanto, a parametrização por
não representa o comprimento de arco.
Resposta
Não, a curva
não está parametrizada pelo comprimento de arco.