Seja
.
A função
é diferenciável em
? Por quê?
A função
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para saber se a função
é diferenciável no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Precisamos verificar se as derivadas parciais existem e se a função pode ser bem aproximada por uma reta tangente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Podemos notar que ela é composta por duas partes:
e
.
Passo 3
Vamos examinar cada parte separadamente:
-
Parte
: - A função cúbica
é diferenciável em todos os pontos. - Subtraindo 1,
também é diferenciável. - A raiz cúbica,
, é uma função diferenciável para todo real. - Portanto, a composição
é diferenciável para todo .
- A função cúbica
-
Parte
: - A função identidade
é linear e, portanto, diferenciável em todos os pontos.
- A função identidade
Passo 4
Como ambas as partes da função
são diferenciáveis em todos os seus respectivos domínios, a soma delas, que é a própria função
, também é diferenciável em todos os pontos, incluindo o ponto
.
Resposta
Sim, a função
é diferenciável no ponto
porque todas as suas partes são diferenciáveis nesse ponto, permitindo que a função seja bem aproximada por uma expressão linear ali.