Seja f(x, y)=raiz[3]x^3-1+y.
A função f é diferenciável em (1,0) ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para saber se a função f(x, y) = raiz[3]x^3-1 + y é diferenciável no ponto (1, 0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Precisamos verificar se as derivadas parciais existem e se a função pode ser bem aproximada por uma reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função f(x, y) = raiz[3]x^3-1 + y . Podemos notar que ela é composta por duas partes: raiz[3]x^3-1 e y .

Passo 3

Vamos examinar cada parte separadamente:
  1. Parte raiz[3]x^3-1 :
    • A função cúbica x^3 é diferenciável em todos os pontos.
    • Subtraindo 1, x^3 - 1 também é diferenciável.
    • A raiz cúbica, raiz[3]u , é uma função diferenciável para todo u real.
    • Portanto, a composição raiz[3]x^3-1 é diferenciável para todo x .
  2. Parte y :
    • A função identidade y é linear e, portanto, diferenciável em todos os pontos.

Passo 4

Como ambas as partes da função f(x, y) são diferenciáveis em todos os seus respectivos domínios, a soma delas, que é a própria função f(x, y) , também é diferenciável em todos os pontos, incluindo o ponto (1, 0).

Resposta

Sim, a função f(x, y) = raiz[3]x^3-1 + y é diferenciável no ponto (1, 0) porque todas as suas partes são diferenciáveis nesse ponto, permitindo que a função seja bem aproximada por uma expressão linear ali.

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