Resolva os problemas
onde
f(x)=l1,0<x<pi / 2, t>0, 0, pi / 2 <= x <= pi
Passo 1
O problema é a equação do calor unidimensional
com condições de contorno mistas
e condição inicial
Vamos usar separação de variáveis e expandir
f(x) na base de autovetores do problema de Sturm–Liouville.
Passo 2
Consideramos
u(x,t)=X(x),T(t) . Da equação
ut=3uxx segue
O problema espacial é
A condição
X(0)=0 dá
X(x)=Asin(raizlambda,x) . A condição
X'(pi)=0 exige
Logo
Passo 3
A parte temporal satisfaz
Portanto a solução geral é
Passo 4
Os coeficientes
bn vêm da expansão de
f(x) :
Como
integral0^pisin^2(kx),dx=pi/2 , temos
Passo 5
Substituindo em
u(x,t) , a solução fica