Resolva os problemas
lut=3 ux x, 0<x<pi, t>0, u(0, t)=0, ux(pi, t)=0, t>0, u(x, 0)=f(x), 0 <= x <= pi, onde f(x)=l1,0<x<pi / 2, t>0, 0, pi / 2 <= x <= pi

Passo 1

O problema é a equação do calor unidimensional
ut=3,uxx, 0<x<pi,;t>0,
com condições de contorno mistas
u(0,t)=0, ux(pi,t)=0,
e condição inicial
u(x,0)=f(x), f(x)= 1,&0<x<pi2, 0,&pi2<= x<=pi
Vamos usar separação de variáveis e expandir f(x) na base de autovetores do problema de Sturm–Liouville.

Passo 2

Consideramos u(x,t)=X(x),T(t). Da equação ut=3uxx segue
T'3T=X''X=-lambda
O problema espacial é
X''+lambda X=0, X(0)=0,;X'(pi)=0
A condição X(0)=0 X(x)=Asin(raizlambda,x). A condição X'(pi)=0 exige
raizlambdacos(raizlambda,pi)=0Longrightarrow raizlambda,pi=(2n-1)pi2,;n=1,2,dots
Logo
lambdan=l(tfrac2n-12r)^2, Xn(x)=sin!l(tfrac2n-12xr)

Passo 3

A parte temporal satisfaz
T' +3lambdan,T=0 Longrightarrow Tn(t)=e^-3lambdan,t
Portanto a solução geral é
u(x,t)=sumn=1^inftybn,e^-3l(2n-12r)^2t sin!l(tfrac2n-12xr)

Passo 4

Os coeficientes bn vêm da expansão de f(x):
bn=2integral0^pisin^2!l(tfrac2n-12xr),dx integral0^pif(x),sin!l(tfrac2n-12xr),dx
Como integral0^pisin^2(kx),dx=pi/2, temos
bn=4pi integral0^pi21;sin!l(tfrac2n-12xr),dx =4pi; 1-cos!l(tfrac2n-12,tfracpi2r)tfrac2n-12 =8pi(2n-1)l[1-cos!l(tfrac(2n-1)pi4r)r]

Passo 5

Substituindo em u(x,t), a solução fica
u(x,t)=sumn=1^infty 8pi(2n-1)l[1-cos!l(tfrac(2n-1)pi4r)r] exp!l(-3,l(tfrac2n-12r)^2tr) sin!l(tfrac2n-12xr)

Resposta

u(x,t) =sumn=1^infty 8pi(2n-1)l[1-cos!l(tfrac(2n-1)pi4r)r] e^-3l(2n-12r)^2t sin!l(tfrac2n-12xr)

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