Considere a curva parametrizada regular
.
Determine a curvatura de
no ponto
.
Determine a curvatura de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva parametrizada
e queremos encontrar a curvatura dessa curva no ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente derivadas de funções vetoriais e a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de
que corresponde ao ponto
. A curva é dada por:
Queremos encontrar
tal que:
Resolvendo a primeira equação:
Agora, verificamos a segunda equação com
:
Então,
é o valor que corresponde ao ponto
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas da função
em relação a
. A curvatura de uma curva parametrizada é dada pela fórmula:
Primeiro, encontraremos as derivadas necessárias:
Derivadas de
:
Derivadas de
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Com esses valores, vamos aplicar a fórmula da curvatura:
Resposta
A curvatura da curva
no ponto
é
.