Considere a curva parametrizada regular alpha(t)=(2 cos t, 4 sen t).
Determine a curvatura de alpha no ponto (2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva parametrizada alpha(t) = (2 cos t, 4 sin t) e queremos encontrar a curvatura dessa curva no ponto (2, 0). Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente derivadas de funções vetoriais e a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de t que corresponde ao ponto (2, 0). A curva é dada por:
alpha(t) = (2 cos t, 4 sin t)
Queremos encontrar t tal que:
2 cos t = 2 e 4 sin t = 0
Resolvendo a primeira equação:
2 cos t = 2 implies cos t = 1 implies t = 0
Agora, verificamos a segunda equação com t = 0:
4 sin 0 = 0
Então, t = 0 é o valor que corresponde ao ponto (2, 0).

Passo 3

Agora, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas da função alpha(t) em relação a t. A curvatura de uma curva parametrizada é dada pela fórmula:
kappa(t) = |x'(t) y''(t) - y'(t) x''(t)|( x'(t)^2 + y'(t)^2 )^3/2
Primeiro, encontraremos as derivadas necessárias:
Derivadas de x(t):
x(t) = 2 cos t implies x'(t) = -2 sin t implies x''(t) = -2 cos t
Derivadas de y(t):
y(t) = 4 sin t implies y'(t) = 4 cos t implies y''(t) = -4 sin t

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto t = 0:
x'(0) = -2 sin 0 = 0
y'(0) = 4 cos 0 = 4
x''(0) = -2 cos 0 = -2
y''(0) = -4 sin 0 = 0

Passo 5

Com esses valores, vamos aplicar a fórmula da curvatura:
kappa(0) = |x'(0) y''(0) - y'(0) x''(0)|( x'(0)^2 + y'(0)^2 )^3/2 = |0 cdot 0 - 4 cdot (-2)|(0^2 + 4^2)^3/2 = |8|64 = 864 = 18

Resposta

A curvatura da curva alpha(t) = (2 cos t, 4 sin t) no ponto (2, 0) é dfrac18.

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