Seja f(x, y)=raiz[3]x^3-1+y.
Determine, caso existam, partial fpartial x(1,0) e partial fpartial y(1,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=raiz[3],x^3-1,+y
e pede as derivadas parciais de f no ponto (1,0).
O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada parcial por diferença quociente e análise de limite, além da parte trivial para a variável y.

Passo 2

Para partial fpartial y(x,y) vemos que a única parte de f que depende de y é o termo +y. Logo, sem complicação,
partial fpartial y(x,y)=1
e, em particular,
partial fpartial y(1,0)=1

Passo 3

Para partial fpartial x(1,0) usamos a definição
partial fpartial x(1,0) =limhto 0f(1+h,0)-f(1,0)h
Note que f(1,0)=raiz[3]1^3-1+0=0. Assim o quociente fica
f(1+h,0)-f(1,0)h =raiz[3](1+h)^3-1h =raiz[3]3h+3h^2+h^3h

Passo 4

Escrevendo (1+h)^3-1=3h+3h^2+h^3 e extraindo h de dentro da raiz cúbica, temos
raiz[3]3h+3h^2+h^3 =raiz[3]h,raiz[3]3+3h+h^2 =l|hr|^!1/3,3^1/3l(1+o(1)r)
Logo o quociente vale, para hneq0,
raiz[3]3h+3h^2+h^3h =3^1/3,|h|^1/3h,(1+o(1)) =3^1/3,|h|^-2/3,(1+o(1))
À medida que hto0, |h|^-2/3to+infty. Portanto o limite diverge para +infty e não existe como número finito.

Passo 5

Concluímos que não há derivada parcial finita de f em relação a x no ponto (1,0), pois o limite do quociente diverge.

Resposta

partial fpartial x(1,0) não existe (é infinitamente grande)
partial fpartial y(1,0)=1

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