Considere a curva parametrizada regular alpha(t)=(2 cos t, 4 sen t).
Determine os vetores T e N de alpha no ponto (1,2raiz3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar os vetores tangente T e normal N para a curva parametrizada alpha(t) = (2 cos t, 4 sin t) no ponto (1, 2raiz3) . Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas de curvas parametrizadas e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de t que faz com que alpha(t) = (1, 2raiz3) . Isso significa que:
2 cos t = 1 e 4 sin t = 2raiz3
Resolvendo a primeira equação:
cos t = 12 implies t = pi3 (considerando o intervalo principal)
Verificamos na segunda equação:
4 sin(pi3) = 4 (raiz32) = 2raiz3
Confirma que t = pi3 é o valor correto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da curva alpha(t) , que nos dá o vetor velocidade alpha'(t) :
alpha'(t) = (-2 sin t, 4 cos t)
Substituindo t = pi3 :
alpha'(pi3) = (-2 sin(pi3), 4 cos(pi3)) = (-2 cdot raiz32, 4 cdot 12) = (-raiz3, 2)

Passo 4

O vetor tangente unitário T é dado por:
T = alpha'(t)||alpha'(t)||
Calculamos a norma de alpha'(pi3) :
||alpha'|| = raiz(-raiz3)^2 + 2^2 = raiz3 + 4 = raiz7
Portanto:
T = 1raiz7 (-raiz3, 2) = (-raiz3raiz7, 2raiz7)

Passo 5

Para encontrar o vetor normal unitário N , precisamos calcular a derivada de T em relação a t e então normalizar:
Primeiro, derivamos alpha'(t) :
alpha''(t) = (-2 cos t, -4 sin t)
Substituindo t = pi3 :
alpha''(pi3) = (-2 cos(pi3), -4 sin(pi3)) = (-2 cdot 12, -4 cdot raiz32) = (-1, -2raiz3)
Agora, N é o vetor derivada de T normalizado, mas como já temos alpha''(t) , podemos usar:
N = alpha''(t)||alpha''(t)||
Calculando a norma de alpha''(pi3) :
||alpha''|| = raiz(-1)^2 + (-2raiz3)^2 = raiz1 + 12 = raiz13
Então:
N = 1raiz13 (-1, -2raiz3) = (-1raiz13, -2raiz3raiz13)

Resposta

No ponto (1, 2raiz3) , os vetores tangente e normal são:
T = (-raiz3raiz7, 2raiz7)
N = (-1raiz13, -2raiz3raiz13)

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