Considere a curva parametrizada regular
.
Determine os vetores
e
de
no ponto
.
Determine os vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar os vetores tangente
e normal
para a curva parametrizada
no ponto
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas de curvas parametrizadas e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
que faz com que
. Isso significa que:
Resolvendo a primeira equação:
Verificamos na segunda equação:
Confirma que
é o valor correto.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da curva
, que nos dá o vetor velocidade
:
Substituindo
:
Passo 4
O vetor tangente unitário
é dado por:
Calculamos a norma de
:
Portanto:
Passo 5
Para encontrar o vetor normal unitário
, precisamos calcular a derivada de
em relação a
e então normalizar:
Primeiro, derivamos :
Primeiro, derivamos
Substituindo
:
Agora,
é o vetor derivada de
normalizado, mas como já temos
, podemos usar:
Calculando a norma de
:
Então:
Resposta
No ponto
, os vetores tangente e normal são: