Encontre o ponto (x, y) sobre a elipse 4 x^2+9 y^2=36 que faz a função f(x, y)=x+y atingir seu valor máximo e diga qual é esse valor.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ponto (x,y) na elipse
4x^2 + 9y^2 = 36
que maximiza a função
f(x,y) = x + y
O conteúdo chave aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos diz que no ponto ótimo nabla f é paralelo a nabla g, onde g(x,y)=4x^2+9y^2-36.

Passo 2

Escrevemos as equações de Lagrange:
nabla f = lambda ,nabla g
Como nabla f = (1,1) e nabla g = (8x,18y), temos as duas equações
1 = lambda cdot 8x, 1 = lambda cdot 18y

Passo 3

Dessas equações isolamos x e y em termos de lambda:
x = 18lambda, y = 118lambda

Passo 4

Substituímos esses valores na equação da elipse:
4l(18lambdar)^2 ;+; 9l(118lambdar)^2 = 36
Isso dá
464lambda^2 + 9324lambda^2 = 36 Longrightarrow 116lambda^2 + 136lambda^2 = 36
Somando as frações:
1/16 + 1/36lambda^2 = 36 Longrightarrow 13144,lambda^2 = 36 Longrightarrow lambda^2 = 13144cdot 36 = 135184

Passo 5

Para o máximo escolhemos lambda = raiz1372. Então
x = 18lambda = 18,(raiz13/72) = 728raiz13 = 9raiz13,
y = 118lambda = 118,(raiz13/72) = 7218raiz13 = 4raiz13

Passo 6

Calculamos o valor máximo de f:
fl(tfrac9raiz13,tfrac4raiz13r) = 9raiz13 + 4raiz13 = 13raiz13 = raiz13

Resposta

O ponto que maximiza x+y na elipse é
l(tfrac9raiz13, tfrac4raiz13r)
e o valor máximo de f nesse ponto é raiz13.

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