Encontre o ponto sobre a elipse que faz a função atingir seu valor máximo e diga qual é esse valor.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ponto na elipse
que maximiza a função
O conteúdo chave aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos diz que no ponto ótimo é paralelo a , onde .

Passo 2

Escrevemos as equações de Lagrange:
Como e , temos as duas equações

Passo 3

Dessas equações isolamos e em termos de :

Passo 4

Substituímos esses valores na equação da elipse:
Isso dá
Somando as frações:

Passo 5

Para o máximo escolhemos . Então

Passo 6

Calculamos o valor máximo de :

Resposta

O ponto que maximiza na elipse é
e o valor máximo de nesse ponto é .

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