Encontre o ponto
sobre a elipse
que faz a função
atingir seu valor máximo e diga qual é esse valor.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o ponto
na elipse
que maximiza a função
O conteúdo chave aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos diz que no ponto ótimo
é paralelo a
, onde
.
Passo 2
Escrevemos as equações de Lagrange:
Como
e
, temos as duas equações
Passo 3
Dessas equações isolamos
e
em termos de
:
Passo 4
Substituímos esses valores na equação da elipse:
Isso dá
Somando as frações:
Passo 5
Para o máximo escolhemos
. Então
Passo 6
Calculamos o valor máximo de
:
Resposta
O ponto que maximiza
na elipse é
e o valor máximo de
nesse ponto é
.