Seja f(x, y)=raiz[3]x^3-1+y.
Determine partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) para (x, y) neq(1,0).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, f(x, y) = raiz[3]x^3 - 1 + y , e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a x e em relação a y . Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
A função f(x, y) = raiz[3]x^3 - 1 + y pode ser reescrita como f(x, y) = (x^3 - 1)^1/3 + y .
Para derivar (x^3 - 1)^1/3 em relação a x , usamos a regra da cadeia. A derivada de u^n em relação a u é n cdot u^n-1 , e depois multiplicamos pela derivada de u em relação a x . Aqui, u = x^3 - 1 e n = 1/3 .
Então:
ddx (x^3 - 1)^1/3 = 13 (x^3 - 1)^-2/3 cdot 3x^2 = x^2 (x^3 - 1)^-2/3
Já que a derivada de y em relação a x é zero, temos:
partial fpartial x = x^2 (x^3 - 1)^-2/3

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
Na função f(x, y) = (x^3 - 1)^1/3 + y , a única parte que depende de y é o termo y mesmo. A derivada de y em relação a y é 1.
Portanto:
partial fpartial y = 1

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = x^2 cdot (x^3 - 1)^-2/3 e partial fpartial y = 1

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