Considere uma curva parametrizada
tal que sua derivada segunda
seja identicamente nula. O que podemos dizer sobre
?
Passo 1
O enunciado dá uma curva parametrizada
cuja segunda derivada é identicamente nula:
O conteúdo aqui é resolver essa equação diferencial vetorial de segunda ordem e interpretar geometricamente o resultado (curvatura nula).
Passo 2
Integramos a equação diferencial duas vezes. Primeiro, da condição
segue que a primeira derivada é constante:
onde
é um vetor constante em
. Em seguida, integramos novamente:
onde
é outro vetor constante (a “constante de integração”).
Passo 3
A fórmula
representa uma parametrização afim de uma reta:
é um ponto de ancoragem e
é o vetor direção. Geometricamente, a curvatura da curva é dada por algo proporcional a
, então
implica curvatura zero, característica de retas.
Resposta
logo sua imagem está contida em uma linha reta.