Considere uma curva parametrizada alpha(t) tal que sua derivada segunda alpha^prime prime(t) seja identicamente nula. O que podemos dizer sobre alpha ?

Passo 1

O enunciado dá uma curva parametrizada alpha(t) cuja segunda derivada é identicamente nula:
alpha''(t) = 0,forall t
O conteúdo aqui é resolver essa equação diferencial vetorial de segunda ordem e interpretar geometricamente o resultado (curvatura nula).

Passo 2

Integramos a equação diferencial duas vezes. Primeiro, da condição alpha''(t)=0 segue que a primeira derivada é constante:
alpha'(t) = v,
onde v é um vetor constante em R^n. Em seguida, integramos novamente:
alpha(t) = vt + p,
onde p é outro vetor constante (a “constante de integração”).

Passo 3

A fórmula alpha(t)=vt+p representa uma parametrização afim de uma reta: p é um ponto de ancoragem e v é o vetor direção. Geometricamente, a curvatura da curva é dada por algo proporcional a |alpha''(t)|, então |alpha''(t)|=0 implica curvatura zero, característica de retas.

Resposta

alpha(t) é uma parametrização de reta (ou ponto, se v=0), isto é,
alpha(t)=vt+p,
logo sua imagem está contida em uma linha reta.

Exercícios relacionados