Seja alpha:(-1,+infty) longrightarrow R^2 dada por
alpha(t)=(3 a t1+t^3, 3 a t^21+t^3)
Para t=0, alpha é tangente ao eixo O x.

Passo 1

O enunciado dá a curva
alpha(t)=l(x(t),y(t)r) =l(3a,t1+t^3,;3a,t^21+t^3r)
definida em (-1,+infty) e diz que, em t=0, o vetor tangente é paralelo ao eixo O x. Para mostrar isso, vamos calcular o vetor derivada alpha'(t) e avaliá-lo em t=0.

Passo 2

Usando a regra do quociente, calculamos
x'(t) =ddtl(3a,t1+t^3r) =3al[(1+t^3)-tcdot3t^2r](1+t^3)^2 =3a,(1-2t^3)(1+t^3)^2,
y'(t) =ddtl(3a,t^21+t^3r) =3al[2t(1+t^3)-t^2cdot3t^2r](1+t^3)^2 =3a,t,(2-t^3)(1+t^3)^2

Passo 3

Avaliaremos agora em t=0:
x'(0)=3a,(1-2cdot0^3)(1+0^3)^2=3a, y'(0)=3acdot0,(2-0^3)(1+0^3)^2=0
Logo o vetor tangente em t=0 é
alpha'(0)=(x'(0),y'(0))=(3a,0)

Passo 4

Como alpha'(0)=(3a,0) é um vetor horizontal, a curva é tangente ao eixo O x em t=0.

Resposta

O vetor tangente em t=0 é alpha'(0)=(3a,0), que é paralelo ao eixo O x.

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