Determine:
integral xraiz4 x^2-4 x+2 d x

Passo 1

Resumindo: queremos calcular a integral
I = integral xraiz4x^2-4x+2;dx
O conteúdo principal aqui é tratar uma raiz quadrática no denominador: primeiro completamos o quadrado, depois fazemos uma substituição para usar integrais padrões do tipo integral u/raizau^2+b,du e integral du/raizau^2+b.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em 4x^2-4x+2. Note que
4x^2-4x+2 =4l(x^2-x+tfrac12r) =4l[(x-tfrac12)^2+tfrac14r] =4(x-tfrac12)^2+1
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raiz4x^2-4x+2 = raiz4(x-tfrac12)^2+1

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = x - tfrac12, dx = du,
de modo que x = u + tfrac12 e a raiz vira raiz4u^2+1. A integral passa a ser
I = integral u + tfrac12raiz4u^2+1;du

Passo 4

Separamos em duas integrais mais simples:
I = integral uraiz4u^2+1;du ;+;tfrac12integral 1raiz4u^2+1;du

Passo 5

Para a primeira parte, use v=4u^2+1, dv=8u,du, daí
integral uraiz4u^2+1,du = integral 18 v^-tfrac12,dv = 18cdot 2,v^tfrac12 = 14raiz4u^2+1

Passo 6

Para a segunda parte, lembramos que
integral duraiz4u^2+1 = 12lnl|2u+raiz4u^2+1r| + C
Multiplicando por tfrac12
tfrac12integral duraiz4u^2+1 = 14lnl|2u+raiz4u^2+1r|

Passo 7

Somando as duas partes e voltando a x (isto é, u=x-tfrac12 e raiz4u^2+1=raiz4x^2-4x+2), obtemos
I = 14raiz4x^2-4x+2 + 14lnl|,2x-1 + raiz4x^2-4x+2r| + C

Resposta

boxed integral xraiz4x^2-4x+2,dx = 14raiz4x^2-4x+2 + 14lnl|2x-1+raiz4x^2-4x+2r| + C

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