Encontre uma curva parametrizada alpha(t) cujo traço seja o círculo x^2+y^2=1 de maneira que alpha(t) percorra o círculo no sentido anti-horário e tenhamos alpha(0)=(0,1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma curva parametrizada cujo traço seja o círculo x^2+y^2=1, de modo que o percurso seja anti-horário e comece em alpha(0)=(0,1). O conteúdo envolve parametrização de curvas planas, em especial a circunferência unitária, e vamos usar a forma básica (cos t,sin t).

Passo 2

A parametrização padrão do círculo unitário é
beta(t)=(cos t,sin t),
que em t=0 fornece o ponto (1,0). Para que a curva comece em (0,1), buscamos um deslocamento de parâmetro phi tal que
beta(phi)=(cosphi,sinphi)=(0,1)
Isso ocorre em phi=tfracpi2.

Passo 3

Definimos então
alpha(t)=betal(t+tfracpi2r)=(cos(t+tfracpi2),sin(t+tfracpi2))
Em particular,
alpha(0)=(costfracpi2,sintfracpi2)=(0,1),
como desejado.

Passo 4

Para verificar o sentido anti-horário, calculamos
alpha'(t)=l(-sin(t+tfracpi2),,cos(t+tfracpi2)r)
Em t=0 isso vale
alpha'(0)=(-sintfracpi2,costfracpi2)=(-1,0),
ou seja, aponta para a esquerda a partir de (0,1), confirmando o percurso anti-horário.

Resposta

alpha(t)=l(cos(t+tfracpi2),,sin(t+tfracpi2)r)
que é equivalente a
alpha(t)=(-sin t,cos t), ;tin[0,2pi].

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