Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. (a)
.
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas paramétricas
e pede a reta tangente no ponto
. Para isso precisamos (1) encontrar o valor
que gera esse ponto e (2) calcular o vetor velocidade
em
.
Passo 2
Detectamos
resolvendo
Como
, temos
. De fato
confirmando o ponto.
Passo 3
A velocidade da curva é
Em
isso dá
Passo 4
A reta tangente, tomando parâmetro
, parte de
com direção
. Assim
Escrevendo em equações paramétricas:
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente são