Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. (a) x=t, y=e^-t, z=2 t-t^2 ;(0,1,0).

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas paramétricas
x(t)=t, y(t)=e^-t, z(t)=2t-t^2
e pede a reta tangente no ponto (0,1,0). Para isso precisamos (1) encontrar o valor t0 que gera esse ponto e (2) calcular o vetor velocidade r'(t) em t0.

Passo 2

Detectamos t0 resolvendo
x(t0)=0, y(t0)=1, z(t0)=0
Como x(t)=t, temos t0=0. De fato
y(0)=e^0=1, z(0)=2cdot0-0^2=0,
confirmando o ponto.

Passo 3

A velocidade da curva é
r'(t) = l(x'(t),,y'(t),,z'(t)r) = l(1,,-e^-t,,2-2tr)
Em t0=0 isso dá
r'(0) = l(1,,-1,,2r)

Passo 4

A reta tangente, tomando parâmetro s, parte de (0,1,0) com direção (1,-1,2). Assim
ell(s) = (0,1,0) + s,(1,-1,2)
Escrevendo em equações paramétricas:
x(s)=0 + 1cdot s = s,
y(s)=1 - 1cdot s = 1 - s,
z(s)=0 + 2cdot s = 2s

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são
x=s, y=1-s, z=2s

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