Sejam A e B dois conjuntos de X. Prove a seguinte equivalência:
A cap B=emptyset Long<=ftrightarrow A subset X backslash B

Passo 1

O enunciado diz que A e B são subconjuntos de um mesmo conjunto X e pede para provar a equivalência
Acap B=emptyset Long<=ftrightarrow Asubset Xsetminus B
Vamos usar as definições:
Acap B=emptyset significa que não existe elemento que pertença simultaneamente a A e a B.
Asubset Xsetminus B significa que todo elemento de A não pertence a B.

Passo 2

Prova de A cap B = emptyset Longrightarrow A subset X setminus B,:
Suponha que A cap B = emptyset. Seja x in A. Se por absurdo tivéssemos x in B, então x in A cap B, o que contradiz A cap B = emptyset. Logo x notin B e portanto x in X setminus B. Como isso vale para todo x in A, concluímos A subset X setminus B.

Passo 3

Prova de A subset X setminus B Longrightarrow A cap B = emptyset,:
Suponha que A subset X setminus B. Se existisse x in A cap B, então x in A e x in B. Mas x in A implica x in X setminus B, isto é, x notin B, contradição. Logo não há elemento comum, e A cap B = emptyset.

Resposta

A equivalência está provada:
Acap B=emptyset Long<=ftrightarrow Asubset Xsetminus B

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