Sejam
e
dois conjuntos de
. Prove a seguinte equivalência:
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subconjuntos de um mesmo conjunto
e pede para provar a equivalência
Vamos usar as definições:
– significa que não existe elemento que pertença simultaneamente a
e a
.
– significa que todo elemento de
não pertence a
.
–
–
Passo 2
Prova de
,:
Suponha que . Seja
. Se por absurdo tivéssemos
, então
, o que contradiz
. Logo
e portanto
. Como isso vale para todo
, concluímos
.
Suponha que
Passo 3
Prova de
,:
Suponha que . Se existisse
, então
e
. Mas
implica
, isto é,
, contradição. Logo não há elemento comum, e
.
Suponha que
Resposta
A equivalência está provada: