Considere a curva plana dada por x(t)=t-sen(t) e y=1-cos (t), chamada de cicloide. Encontre a fórmula para o comprimento do arco da cicloide de 0 até t para t in[0,2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o comprimento do arco de uma cicloide. A cicloide é uma curva gerada pela trajetória de um ponto fixo na borda de uma roda que rola sem deslizar. Aqui, a curva é dada por:
x(t) = t - sin(t) y(t) = 1 - cos(t)
Nosso objetivo é encontrar a fórmula para o comprimento do arco dessa cicloide no intervalo de t = 0 até t = 2pi . Para isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco S de uma curva paramétrica x(t) e y(t) :
S = integrala^b raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 , dt
Aqui, a e b são os valores iniciais e finais de t no intervalo que estamos considerando, que no nosso caso são 0 e 2pi , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas dxdt e dydt a partir das funções dadas:
dxdt = ddt(t - sin(t)) = 1 - cos(t) dydt = ddt(1 - cos(t)) = sin(t)

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
S = integral0^2pi raiz(1 - cos(t))^2 + (sin(t))^2 , dt
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 5

Expandindo os termos dentro da raiz:
(1 - cos(t))^2 + sin^2(t) = 1 - 2cos(t) + cos^2(t) + sin^2(t)
Sabemos que cos^2(t) + sin^2(t) = 1 (identidade trigonométrica fundamental). Então:
1 - 2cos(t) + 1 = 2 - 2cos(t)
Portanto, a expressão fica:
S = integral0^2pi raiz2 - 2cos(t) , dt

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que:
2 - 2cos(t) = 4sin^2( t2 )
Isso vem da identidade trigonométrica: 1 - cos(t) = 2sin^2( t2 ) , multiplicando ambos os lados por 2.
Então:
raiz2 - 2cos(t) = raiz4sin^2( t2 ) = 2| sin( t2 ) |
Como sin( t2 ) é não negativo no intervalo [0, 2pi] , podemos simplificar para:
raiz2 - 2cos(t) = 2sin( t2 )

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
S = integral0^2pi 2sin( t2 ) , dt
Podemos tirar o 2 da integral:
S = 2 integral0^2pi sin( t2 ) , dt

Passo 8

Vamos calcular a integral integral sin( t2 ) , dt . Fazendo a substituição u = t2 , então du = 12dt ou dt = 2du .
Substituindo:
integral sin(u) cdot 2 , du = 2 integral sin(u) , du = -2cos(u) + C = -2cos( t2 ) + C

Passo 9

Voltando aos limites de integração de 0 a 2pi :
S = 2 [ -2cos( t2 ) ]0^2pi = -4 [ cos( 2pi2 ) - cos( 02 ) ] = -4 [cos(pi) - cos(0)]
Sabemos que cos(pi) = -1 e cos(0) = 1 , então:
S = -4 [ -1 - 1 ] = -4 [ -2 ] = 8

Resposta

O comprimento do arco da cicloide no intervalo de t = 0 até t = 2pi é 8 unidades.

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