Considere a curva plana dada por e , chamada de cicloide. Encontre a fórmula para o comprimento do arco da cicloide de 0 até para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o comprimento do arco de uma cicloide. A cicloide é uma curva gerada pela trajetória de um ponto fixo na borda de uma roda que rola sem deslizar. Aqui, a curva é dada por:
Nosso objetivo é encontrar a fórmula para o comprimento do arco dessa cicloide no intervalo de até . Para isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco de uma curva paramétrica e :
Aqui, e são os valores iniciais e finais de no intervalo que estamos considerando, que no nosso caso são e , respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas e a partir das funções dadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 5
Expandindo os termos dentro da raiz:
Sabemos que (identidade trigonométrica fundamental). Então:
Portanto, a expressão fica:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que:
Isso vem da identidade trigonométrica: , multiplicando ambos os lados por 2.
Então:
Como sin( t2 ) é não negativo no intervalo [0, 2pi] , podemos simplificar para:
raiz2 - 2cos(t) = 2sin( t2 )
Passo 7
Substituindo de volta na integral:
S = integral0^2pi 2sin( t2 ) , dt
Podemos tirar o 2 da integral:
S = 2 integral0^2pi sin( t2 ) , dt
Passo 8
Vamos calcular a integral integral sin( t2 ) , dt . Fazendo a substituição u = t2 , então du = 12dt ou dt = 2du .
Substituindo:
integral sin(u) cdot 2 , du = 2 integral sin(u) , du = -2cos(u) + C = -2cos( t2 ) + C