Questão 4. (4.0) Justifique em detalhe a continuidade das funções nos casos:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função de duas variáveis
, definida por
, é contínua em todo o plano. O conteúdo principal é continuidade de função de várias variáveis e usaremos que soma, produto e composição de funções contínuas são contínuas.
Passo 2
Primeiro lembramos que as projeções
e
são contínuas (são funções polinomiais de grau 1). Logo as funções
e
também são contínuas, pois resultam de produto de projeções.
Passo 3
Como
é contínua em
, a composição
é contínua. E como
é contínua, o produto
é contínuo.
Passo 4
Para o termo
, vemos que
é contínuo (produto de projeções) e
é contínua em
. Logo
é contínua por composição.
Passo 5
O terceiro termo
é contínuo pois
é contínuo e a multiplicação por
também preserva continuidade. Por fim, a soma de funções contínuas é contínua. Portanto,
é contínua em
.
Resposta
A função f é contínua em todo
.