Questão 4. (4.0) Justifique em detalhe a continuidade das funções nos casos:
f(x, y)=y e^x^2+cos (x y)+x y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função de duas variáveis f: R^2to R, definida por f(x,y)=y,e^x^2+cos(xy)+x,y^2, é contínua em todo o plano. O conteúdo principal é continuidade de função de várias variáveis e usaremos que soma, produto e composição de funções contínuas são contínuas.

Passo 2

Primeiro lembramos que as projeções (x,y)mapsto x e (x,y)mapsto y são contínuas (são funções polinomiais de grau 1). Logo as funções (x,y)mapsto x^2 e (x,y)mapsto y^2 também são contínuas, pois resultam de produto de projeções.

Passo 3

Como tmapsto e^t é contínua em R, a composição (x,y)mapsto e^x^2 é contínua. E como (x,y)mapsto y é contínua, o produto (x,y)mapsto y,e^x^2 é contínuo.

Passo 4

Para o termo cos(xy), vemos que (x,y)mapsto xy é contínuo (produto de projeções) e tmapstocos t é contínua em R. Logo (x,y)mapstocos(xy) é contínua por composição.

Passo 5

O terceiro termo (x,y)mapsto x,y^2 é contínuo pois (x,y)mapsto y^2 é contínuo e a multiplicação por x também preserva continuidade. Por fim, a soma de funções contínuas é contínua. Portanto, f(x,y)=y,e^x^2+cos(xy)+x,y^2 é contínua em R^2.

Resposta

A função f é contínua em todo R^2.

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