Considere a curva plana com parametrização
Calcule o comprimento do arco da curva compreendido entre os pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva no plano definida por uma parametrização, que é basicamente uma função que nos dá as coordenadas de cada ponto da curva em função de um parâmetro, que aqui é o t. A tarefa é calcular o comprimento do arco dessa curva entre o ponto inicial
e um ponto qualquer na curva
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função de parametrização
. A função dada é:
Vamos derivar cada componente em relação a t:
Usando a regra do produto para derivação:
Passo 3
Agora, para calcular o comprimento do arco, usamos a fórmula:
Onde
é o módulo da derivada da parametrização. Vamos calcular esse módulo:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do comprimento do arco:
A integral de
é
, então:
Resposta
O comprimento do arco da curva entre os pontos
e
é: