Considere a curva plana com parametrização
r(t)=(e^t cos t, e^t sen t),-2 pi <= t <= 2 pi
Calcule o comprimento do arco da curva compreendido entre os pontos r(0)=(1,0) e r(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva no plano definida por uma parametrização, que é basicamente uma função que nos dá as coordenadas de cada ponto da curva em função de um parâmetro, que aqui é o t. A tarefa é calcular o comprimento do arco dessa curva entre o ponto inicial r(0) = (1, 0) e um ponto qualquer na curva r(t) . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função de parametrização r(t) . A função dada é:
r(t) = (e^t cos t, e^t sin t)
Vamos derivar cada componente em relação a t:
r'(t) = (ddt(e^t cos t), ddt(e^t sin t))
Usando a regra do produto para derivação:
r'(t) = (e^t (cos t - sin t), e^t (sin t + cos t))

Passo 3

Agora, para calcular o comprimento do arco, usamos a fórmula:
s = integrala^b |r'(t)| , dt
Onde |r'(t)| é o módulo da derivada da parametrização. Vamos calcular esse módulo:
|r'(t)| = raiz(e^t (cos t - sin t))^2 + (e^t (sin t + cos t))^2
Simplificando dentro da raiz:
= e^t raiz(cos t - sin t)^2 + (sin t + cos t)^2

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
(cos t - sin t)^2 + (sin t + cos t)^2 = 2 (cos^2 t + sin^2 t) = 2 times 1 = 2
Então:
|r'(t)| = e^t raiz2 = raiz2 e^t

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do comprimento do arco:
s = integral0^t raiz2 e^t , dt = raiz2 integral0^t e^t , dt
A integral de e^t é e^t , então:
s = raiz2 ( e^t - e^0 ) = raiz2 (e^t - 1)

Resposta

O comprimento do arco da curva entre os pontos r(0) e r(t) é:
s = raiz2 (e^t - 1)

Exercícios relacionados