Considere a curva plana com parametrização
Faça um esboço da curva.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial que pede para fazermos um esboço de uma curva plana definida por uma parametrização específica. A matéria envolvida aqui é o estudo de curvas paramétricas no plano, e para resolver isso, vamos precisar entender como as funções exponenciais e trigonométricas se combinam na equação da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parametrização dada:
Isso significa que, para cada valor de $ t $ no intervalo de
a
, temos um ponto na curva definido por essas duas componentes: $ x = e^{t} \cos t $ e $ y = e^{t} \sin t $.
Passo 3
Observamos que a componente $ e^{t} $ está influenciando tanto o $ x $ quanto o $ y $. A função exponencial $ e^{t} $ cresce rapidamente à medida que $ t $ aumenta e decresce quando $ t $ diminui. As funções $ \cos t $ e $ \sin t $ são as funções trigonométricas que fazem oscilações periódicas.
Passo 4
Vamos identificar pontos chave para entender como a curva se comporta:
-
Quando $ t = 0 $:Então, o ponto é $ (1, 0) $.
-
Quando $ t = \pi $:Então, o ponto é $ (-e^{\pi}, 0) $.
-
Quando $ t = -\pi $:Então, o ponto é $ (-e^{-\pi}, 0) $.
Passo 5
Além desses pontos, à medida que $ t $ varia de
a
, a curva descreve um padrão semelhante a um espiral logarítmica. Isso porque a função exponencial faz com que o raio da espiral aumente ou diminua exponencialmente conforme $ t $ aumenta ou diminui.
Resposta
O esboço da curva é uma espiral que se expande para fora quando $ t $ aumenta positivamente e se contrai para dentro quando $ t $ diminui negativamente, passando pelos pontos $ (1, 0) $, $ (-e^{\pi}, 0) $ e $ (-e^{-\pi}, 0) $. A curva completa uma volta a cada $ 2\pi $ radianos, formando uma espiral logarítmica no plano.