Considere a curva plana com parametrização
r(t)=(e^t cos t, e^t sen t),-2 pi <= t <= 2 pi
Faça um esboço da curva.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial que pede para fazermos um esboço de uma curva plana definida por uma parametrização específica. A matéria envolvida aqui é o estudo de curvas paramétricas no plano, e para resolver isso, vamos precisar entender como as funções exponenciais e trigonométricas se combinam na equação da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parametrização dada:
r(t) = (e^t cos t, e^t sin t)
Isso significa que, para cada valor de $ t $ no intervalo de t a -2pi, temos um ponto na curva definido por essas duas componentes: $ x = e^{t} \cos t $ e $ y = e^{t} \sin t $.

Passo 3

Observamos que a componente $ e^{t} $ está influenciando tanto o $ x $ quanto o $ y $. A função exponencial $ e^{t} $ cresce rapidamente à medida que $ t $ aumenta e decresce quando $ t $ diminui. As funções $ \cos t $ e $ \sin t $ são as funções trigonométricas que fazem oscilações periódicas.

Passo 4

Vamos identificar pontos chave para entender como a curva se comporta:
  • Quando $ t = 0 $:
    t = 0
    Então, o ponto é $ (1, 0) $.
  • Quando $ t = \pi $:
    x = e^0 cos 0 = 1 times 1 = 1 y = e^0 sin 0 = 1 times 0 = 0
    Então, o ponto é $ (-e^{\pi}, 0) $.
  • Quando $ t = -\pi $:
    (1, 0)
    Então, o ponto é $ (-e^{-\pi}, 0) $.

Passo 5

Além desses pontos, à medida que $ t $ varia de t a -2pi, a curva descreve um padrão semelhante a um espiral logarítmica. Isso porque a função exponencial faz com que o raio da espiral aumente ou diminua exponencialmente conforme $ t $ aumenta ou diminui.

Resposta

O esboço da curva é uma espiral que se expande para fora quando $ t $ aumenta positivamente e se contrai para dentro quando $ t $ diminui negativamente, passando pelos pontos $ (1, 0) $, $ (-e^{\pi}, 0) $ e $ (-e^{-\pi}, 0) $. A curva completa uma volta a cada $ 2\pi $ radianos, formando uma espiral logarítmica no plano.

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