A derivada de f(x)=ln (x-69x-68) é:
Resposta
1/((x-68)(x-69))
(x-69) /(x-68)
-(x-69) /(x-68)
(x-68) /(x-69)
(x-69)(x-68)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=ln!gl(x-69x-68gr)
O conteúdo principal aqui é a regra da derivada do logaritmo natural, que diz
ddxln(u)=u'u,
e vamos precisar também da regra do quociente para calcular u' quando u=(x-69)/(x-68).

Passo 2

Definimos
u(x)=x-69x-68
Pela regra da cadeia,
f'(x)=ddxlnl(u(x)r)=u'(x)u(x)

Passo 3

Para achar u'(x), aplicamos a regra do quociente: se u=v/w, então
u'=v'w - vw'w^2
Aqui v(x)=x-69 e w(x)=x-68, logo v'=1 e w'=1. Assim
u'(x) =1cdot(x-68)-(x-69)cdot1(x-68)^2 =(x-68)-(x-69)(x-68)^2 =1(x-68)^2

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=u'(x)u(x)
temos
f'(x) =1(x-68)^2x-69,x-68, =1(x-68)^2cdotx-68x-69 =1(x-68)(x-69)

Resposta

1(x-68)(x-69)

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