Esboce a curva espacial com parametrização (e^t cos t, e^t sen t, t), para -2 pi <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma curva no espaço definida por uma parametrização, que é basicamente uma fórmula que diz como cada ponto da curva é desenhado em termos de um parâmetro t . A parametrização que temos é (e^t cos t, e^t sin t, t) , e queremos esboçar essa curva para t variando de -2pi até 2pi .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas paramétricas no espaço tridimensional e como representá-las graficamente. Vamos seguir passo a passo para desenhar essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da parametrização representa:
  • x(t) = e^t cos t
  • y(t) = e^t sin t
  • z(t) = t
Aqui, t é o parâmetro que varia de -2pi a 2pi . As funções cos t e sin t nos dizem que, para cada t , o ponto está girando em um círculo no plano xy , mas com o raio crescendo ou diminuindo exponencialmente devido ao e^t .

Passo 3

Vamos analisar como e^t afeta o raio do círculo. Quando t aumenta, e^t cresce rapidamente, então o raio do círculo no plano xy aumenta exponencialmente. Quando t diminui, e^t fica menor, fazendo o raio diminuir.
Além disso, a coordenada z(t) = t nos diz que à medida que t varia, o ponto também se move para cima ou para baixo no eixo z . Então, combinando isso, temos uma espécie de hélice exponencial que se estende para cima e para baixo conforme t varia.

Passo 4

Para esboçar a curva, vamos considerar alguns valores específicos de t para ver onde o ponto está:
  • Quando t = 0 :
    • x = e^0 cos 0 = 1
    • y = e^0 sin 0 = 0
    • z = 0
    • Ponto: (1, 0, 0)
  • Quando t = pi :
    • x = e^pi cos pi = -e^pi
    • y = e^pi sin pi = 0
    • z = pi
    • Ponto: (- e^pi , 0, pi )
  • Quando t = -pi :
    • x = e^-pi cos (-pi) = -e^-pi
    • y = e^-pi sin (-pi) = 0
    • z = -pi
    • Ponto: (- e^-pi , 0, - pi )
Esses pontos mostram como a curva se estende e como o raio do círculo varia.

Passo 5

Agora, vamos pensar na forma geral da curva. Como o raio e^t cresce exponencialmente para t positivo e diminui para t negativo, a curva vai se afastando do eixo z à medida que t aumenta e se aproximando do eixo z quando t diminui.
Além disso, porque z = t , a curva sobe indefinidamente para valores positivos de t e desce indefinidamente para valores negativos.

Passo 6

Vamos juntar tudo para esboçar:
  1. A curva começa perto do eixo z quando t é negativo grande ( -2pi ).
  2. À medida que t aumenta, a curva gira em torno do eixo z formando voltas que se afastam exponencialmente.
  3. No ponto t = 0 , a curva passa por (1, 0, 0).
  4. Continue desenhando as voltas à medida que t se aproxima de 2pi , com o raio aumentando cada vez mais.

Resposta

A curva espacial (e^t cos t, e^t sin t, t) para -2pi <= t <= 2pi é uma hélice exponencial que gira ao redor do eixo z , com o raio aumentando exponencialmente conforme t aumenta e diminuindo exponencialmente conforme t diminui. O esboço mostra uma espiral que se afasta do eixo z para t > 0 e se aproxima do eixo para t < 0 , cruzando o ponto (1, 0, 0) quando t = 0 .

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