Esboce a curva espacial com parametrização
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma curva no espaço definida por uma parametrização, que é basicamente uma fórmula que diz como cada ponto da curva é desenhado em termos de um parâmetro
. A parametrização que temos é
, e queremos esboçar essa curva para
variando de
até
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas paramétricas no espaço tridimensional e como representá-las graficamente. Vamos seguir passo a passo para desenhar essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente da parametrização representa:
Aqui,
é o parâmetro que varia de
a
. As funções
e
nos dizem que, para cada
, o ponto está girando em um círculo no plano
, mas com o raio crescendo ou diminuindo exponencialmente devido ao
.
Passo 3
Vamos analisar como
afeta o raio do círculo. Quando
aumenta,
cresce rapidamente, então o raio do círculo no plano
aumenta exponencialmente. Quando
diminui,
fica menor, fazendo o raio diminuir.
Além disso, a coordenada
nos diz que à medida que
varia, o ponto também se move para cima ou para baixo no eixo
. Então, combinando isso, temos uma espécie de hélice exponencial que se estende para cima e para baixo conforme
varia.
Passo 4
Para esboçar a curva, vamos considerar alguns valores específicos de
para ver onde o ponto está:
-
Quando
: -
-
-
- Ponto: (1, 0, 0)
-
-
Quando
: -
-
-
- Ponto: (-
, 0, )
-
-
Quando
: -
-
-
- Ponto: (-
, 0, - )
-
Esses pontos mostram como a curva se estende e como o raio do círculo varia.
Passo 5
Agora, vamos pensar na forma geral da curva. Como o raio
cresce exponencialmente para
positivo e diminui para
negativo, a curva vai se afastando do eixo
à medida que
aumenta e se aproximando do eixo
quando
diminui.
Além disso, porque
, a curva sobe indefinidamente para valores positivos de
e desce indefinidamente para valores negativos.
Passo 6
Vamos juntar tudo para esboçar:
- A curva começa perto do eixo
quando é negativo grande ( ). - À medida que
aumenta, a curva gira em torno do eixo formando voltas que se afastam exponencialmente. - No ponto
, a curva passa por (1, 0, 0). - Continue desenhando as voltas à medida que
se aproxima de , com o raio aumentando cada vez mais.
Resposta
A curva espacial
para
é uma hélice exponencial que gira ao redor do eixo
, com o raio aumentando exponencialmente conforme
aumenta e diminuindo exponencialmente conforme
diminui. O esboço mostra uma espiral que se afasta do eixo
para
e se aproxima do eixo para
, cruzando o ponto (1, 0, 0) quando
.