Considere a curva plana com parametrização
r(t)=(e^t cos t, e^t sen t),-2 pi <= t <= 2 pi
Calcule o comprimento desta curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma curva no plano descrita pela parametrização r(t) = (e^t cos t, e^t sin t) para t entre -2pi e 2pi. O que precisamos fazer aqui é calcular o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos uma curva r(t) = (x(t), y(t)), o comprimento L dela entre t = a e t = b é dado por:
L = integrala^b |r'(t)| , dt
Aqui, r'(t) é a derivada da parametrização em relação a t, e |r'(t)| é o módulo desse vetor, que nos dá a velocidade ao percorrer a curva.

Passo 3

Vamos calcular a derivada r'(t) da nossa parametrização:
r(t) = (e^t cos t, e^t sin t)
Derivando cada componente em relação a t:
r'(t) = (ddt(e^t cos t), ddt(e^t sin t))
Usando a regra do produto:
ddt(e^t cos t) = e^t cos t - e^t sin t
ddt(e^t sin t) = e^t sin t + e^t cos t
Portanto:
r'(t) = (e^t (cos t - sin t), e^t (sin t + cos t))

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo |r'(t)|:
|r'(t)| = raiz(e^t (cos t - sin t))^2 + (e^t (sin t + cos t))^2
Vamos expandir os quadrados:
= raize^2t (cos t - sin t)^2 + e^2t (sin t + cos t)^2
Fatorando e^2t:
= e^t raiz(cos t - sin t)^2 + (sin t + cos t)^2

Passo 5

Agora, simplificamos dentro da raiz:
(cos t - sin t)^2 + (sin t + cos t)^2 = cos^2 t - 2cos t sin t + sin^2 t + sin^2 t + 2cos t sin t + cos^2 t
As termos -2cos t sin t e +2cos t sin t se cancelam:
= 2cos^2 t + 2sin^2 t = 2(cos^2 t + sin^2 t)
E como cos^2 t + sin^2 t = 1:
= 2 times 1 = 2
Então:
|r'(t)| = e^t raiz2

Passo 6

Agora que temos |r'(t)| = e^t raiz2, podemos calcular o comprimento L:
L = integral-2pi^2pi e^t raiz2 , dt = raiz2 integral-2pi^2pi e^t , dt
A integral de e^t em relação a t é e^t, então:
L = raiz2 [ e^t ]-2pi^2pi = raiz2 (e^2pi - e^-2pi)

Resposta

O comprimento da curva é raiz2 (e^2pi - e^-2pi).

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