Considere a curva plana com parametrização
Calcule o comprimento desta curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma curva no plano descrita pela parametrização
para
entre
e
. O que precisamos fazer aqui é calcular o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos uma curva
, o comprimento
dela entre
e
é dado por:
Aqui,
é a derivada da parametrização em relação a
, e
é o módulo desse vetor, que nos dá a velocidade ao percorrer a curva.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
da nossa parametrização:
Derivando cada componente em relação a
:
Usando a regra do produto:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo
:
Vamos expandir os quadrados:
Fatorando
:
Passo 5
Agora, simplificamos dentro da raiz:
As termos
e
se cancelam:
E como
:
Então:
Passo 6
Agora que temos
, podemos calcular o comprimento
:
A integral de
em relação a
é
, então:
Resposta
O comprimento da curva é
.